Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51088 / 49552
↖ ↑ ↗
← S 67.373698°
E100.634766°		 ← 235.01 m → S 67.373698°
E100.640259°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
S 67.375811°
E100.634766°		 ← 234.99 m →
55 215 m²		 S 67.375811°
E100.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779548645019531 y=0.756111145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779548645019531 × 216)
    floor (0.779548645019531 × 65536)
    floor (51088.5)     		tx = 51088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756111145019531 × 216)
    floor (0.756111145019531 × 65536)
    floor (49552.5)     		ty = 49552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51088 / 49552 ti = "16/51088/49552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51088/49552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51088 ÷ 216
    51088 ÷ 65536     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49552 ÷ 216
    49552 ÷ 65536     		y = 0.756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.51220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60914584644604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60914584644604))-π/2
    2×atan(0.200058421728696)-π/2
    2×0.197451733957839-π/2
    0.394903467915678-1.57079632675     		φ = -1.17589286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17589286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.373698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51088 KachelY 49552 1.75640800 -1.17589286 100.634766 -67.373698
    Oben rechts KachelX + 1 51089 KachelY 49552 1.75650388 -1.17589286 100.640259 -67.373698
    Unten links KachelX 51088 KachelY + 1 49553 1.75640800 -1.17592974 100.634766 -67.375811
    Unten rechts KachelX + 1 51089 KachelY + 1 49553 1.75650388 -1.17592974 100.640259 -67.375811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17589286--1.17592974) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dl = 234.9624799994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17589286--1.17592974) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dr = 234.9624799994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75650388) × cos(-1.17589286) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384719087198778 × 6371000     		do = 235.006223799468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75650388) × cos(-1.17592974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384685045454043 × 6371000     		du = 234.985429349315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17589286)-sin(-1.17592974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384719087198778-0.384685045454043)×R²
    abs(1.75650388-1.75640800)×3.40417447349251e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40417447349251e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40417447349251e-05×40589641000000     		ar = 55215.2022078982m²