Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51088 / 48080
↖ ↑ ↗
← S 64.052978°
E100.634766°		 ← 267.27 m → S 64.052978°
E100.640259°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 64.055382°
E100.634766°		 ← 267.25 m →
71 429 m²		 S 64.055382°
E100.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779548645019531 y=0.733650207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779548645019531 × 216)
    floor (0.779548645019531 × 65536)
    floor (51088.5)     		tx = 51088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733650207519531 × 216)
    floor (0.733650207519531 × 65536)
    floor (48080.5)     		ty = 48080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51088 / 48080 ti = "16/51088/48080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51088/48080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51088 ÷ 216
    51088 ÷ 65536     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48080 ÷ 216
    48080 ÷ 65536     		y = 0.733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4680196139646))-π/2
    2×atan(0.23038127758025)-π/2
    2×0.22643047918053-π/2
    0.45286095836106-1.57079632675     		φ = -1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51088 KachelY 48080 1.75640800 -1.11793537 100.634766 -64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 51089 KachelY 48080 1.75650388 -1.11793537 100.640259 -64.052978
    Unten links KachelX 51088 KachelY + 1 48081 1.75640800 -1.11797732 100.634766 -64.055382
    Unten rechts KachelX + 1 51089 KachelY + 1 48081 1.75650388 -1.11797732 100.640259 -64.055382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11793537--1.11797732) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11793537--1.11797732) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75650388) × cos(-1.11793537) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 267.271889818342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75650388) × cos(-1.11797732) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.437502168958469 × 6371000     		du = 267.248847411315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11793537)-sin(-1.11797732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437502168958469)×R²
    abs(1.75650388-1.75640800)×3.77217830870302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.77217830870302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.77217830870302e-05×40589641000000     		ar = 71428.9281749694m²