Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51085 / 49429
↖ ↑ ↗
← S 67.112340°
E100.618286°		 ← 237.55 m → S 67.112340°
E100.623779°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 67.114476°
E100.618286°		 ← 237.53 m →
56 434 m²		 S 67.114476°
E100.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779502868652344 y=0.754234313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779502868652344 × 216)
    floor (0.779502868652344 × 65536)
    floor (51085.5)     		tx = 51085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754234313964844 × 216)
    floor (0.754234313964844 × 65536)
    floor (49429.5)     		ty = 49429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51085 / 49429 ti = "16/51085/49429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51085/49429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51085 ÷ 216
    51085 ÷ 65536     		x = 0.779495239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49429 ÷ 216
    49429 ÷ 65536     		y = 0.754226684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779495239257812 × 2 - 1) × π
    0.558990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75612038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.508453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59735336913951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75612038} λ = 1.75612038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59735336913951))-π/2
    2×atan(0.202431571281754)-π/2
    2×0.199732512121031-π/2
    0.399465024242062-1.57079632675     		φ = -1.17133130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75612038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.618286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17133130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.112340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51085 KachelY 49429 1.75612038 -1.17133130 100.618286 -67.112340
    Oben rechts KachelX + 1 51086 KachelY 49429 1.75621625 -1.17133130 100.623779 -67.112340
    Unten links KachelX 51085 KachelY + 1 49430 1.75612038 -1.17136859 100.618286 -67.114476
    Unten rechts KachelX + 1 51086 KachelY + 1 49430 1.75621625 -1.17136859 100.623779 -67.114476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17133130--1.17136859) × R
    3.72899999998566e-05 × 6371000     		dl = 237.574589999086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17133130--1.17136859) × R
    3.72899999998566e-05 × 6371000     		dr = 237.574589999086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75612038-1.75621625) × cos(-1.17133130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388925543655048 × 6371000     		do = 237.550965505099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75612038-1.75621625) × cos(-1.17136859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38889118925653 × 6371000     		du = 237.529982258639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17133130)-sin(-1.17136859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388925543655048-0.38889118925653)×R²
    abs(1.75621625-1.75612038)×3.43543985172889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43543985172889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43543985172889e-05×40589641000000     		ar = 56433.5806970767m²