Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51084 / 48460
↖ ↑ ↗
← S 64.951465°
E100.612793°		 ← 258.60 m → S 64.951465°
E100.618286°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
S 64.953791°
E100.612793°		 ← 258.58 m →
66 870 m²		 S 64.953791°
E100.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779487609863281 y=0.739448547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779487609863281 × 216)
    floor (0.779487609863281 × 65536)
    floor (51084.5)     		tx = 51084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739448547363281 × 216)
    floor (0.739448547363281 × 65536)
    floor (48460.5)     		ty = 48460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51084 / 48460 ti = "16/51084/48460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51084/48460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51084 ÷ 216
    51084 ÷ 65536     		x = 0.77947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48460 ÷ 216
    48460 ÷ 65536     		y = 0.73944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.4788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50445165767584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75602451} λ = 1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50445165767584))-π/2
    2×atan(0.222139068694957)-π/2
    2×0.21858970405864-π/2
    0.43717940811728-1.57079632675     		φ = -1.13361692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13361692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.951465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51084 KachelY 48460 1.75602451 -1.13361692 100.612793 -64.951465
    Oben rechts KachelX + 1 51085 KachelY 48460 1.75612038 -1.13361692 100.618286 -64.951465
    Unten links KachelX 51084 KachelY + 1 48461 1.75602451 -1.13365751 100.612793 -64.953791
    Unten rechts KachelX + 1 51085 KachelY + 1 48461 1.75612038 -1.13365751 100.618286 -64.953791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13361692--1.13365751) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13361692--1.13365751) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75602451-1.75612038) × cos(-1.13361692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423385837724193 × 6371000     		do = 258.598891673136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75602451-1.75612038) × cos(-1.13365751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423349064886661 × 6371000     		du = 258.576431273703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13361692)-sin(-1.13365751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423385837724193-0.423349064886661)×R²
    abs(1.75612038-1.75602451)×3.67728375324505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67728375324505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67728375324505e-05×40589641000000     		ar = 66870.4822336207m²