Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51083 / 48461
↖ ↑ ↗
← S 64.953791°
E100.607300°		 ← 258.60 m → S 64.953791°
E100.612793°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
S 64.956116°
E100.607300°		 ← 258.58 m →
66 855 m²		 S 64.956116°
E100.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779472351074219 y=0.739463806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779472351074219 × 216)
    floor (0.779472351074219 × 65536)
    floor (51083.5)     		tx = 51083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739463806152344 × 216)
    floor (0.739463806152344 × 65536)
    floor (48461.5)     		ty = 48461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51083 / 48461 ti = "16/51083/48461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51083/48461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51083 ÷ 216
    51083 ÷ 65536     		x = 0.779464721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48461 ÷ 216
    48461 ÷ 65536     		y = 0.739456176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779464721679688 × 2 - 1) × π
    0.558929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75592863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739456176757812 × 2 - 1) × π
    -0.478912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50454753147508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75592863} λ = 1.75592863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50454753147508))-π/2
    2×atan(0.222117772399376)-π/2
    2×0.218569409135574-π/2
    0.437138818271147-1.57079632675     		φ = -1.13365751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75592863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13365751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.953791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51083 KachelY 48461 1.75592863 -1.13365751 100.607300 -64.953791
    Oben rechts KachelX + 1 51084 KachelY 48461 1.75602451 -1.13365751 100.612793 -64.953791
    Unten links KachelX 51083 KachelY + 1 48462 1.75592863 -1.13369809 100.607300 -64.956116
    Unten rechts KachelX + 1 51084 KachelY + 1 48462 1.75602451 -1.13369809 100.612793 -64.956116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13365751--1.13369809) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13365751--1.13369809) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75592863-1.75602451) × cos(-1.13365751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.423349064886661 × 6371000     		do = 258.603402842463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75592863-1.75602451) × cos(-1.13369809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.423312300411479 × 6371000     		du = 258.580945208387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13365751)-sin(-1.13369809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423349064886661-0.423312300411479)×R²
    abs(1.75602451-1.75592863)×3.67644751820828e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.67644751820828e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.67644751820828e-05×40589641000000     		ar = 66855.1742677593m²