Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51082 / 49532
↖ ↑ ↗
← S 67.331394°
E100.601807°		 ← 235.40 m → S 67.331394°
E100.607300°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 67.333511°
E100.601807°		 ← 235.38 m →
55 397 m²		 S 67.333511°
E100.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779457092285156 y=0.755805969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779457092285156 × 216)
    floor (0.779457092285156 × 65536)
    floor (51082.5)     		tx = 51082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755805969238281 × 216)
    floor (0.755805969238281 × 65536)
    floor (49532.5)     		ty = 49532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51082 / 49532 ti = "16/51082/49532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51082/49532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51082 ÷ 216
    51082 ÷ 65536     		x = 0.779449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49532 ÷ 216
    49532 ÷ 65536     		y = 0.75579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779449462890625 × 2 - 1) × π
    0.55889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75583276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60722837046124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75583276} λ = 1.75583276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60722837046124))-π/2
    2×atan(0.200442396961915)-π/2
    2×0.19782090533154-π/2
    0.39564181066308-1.57079632675     		φ = -1.17515452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75583276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17515452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.331394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51082 KachelY 49532 1.75583276 -1.17515452 100.601807 -67.331394
    Oben rechts KachelX + 1 51083 KachelY 49532 1.75592863 -1.17515452 100.607300 -67.331394
    Unten links KachelX 51082 KachelY + 1 49533 1.75583276 -1.17519146 100.601807 -67.333511
    Unten rechts KachelX + 1 51083 KachelY + 1 49533 1.75592863 -1.17519146 100.607300 -67.333511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17515452--1.17519146) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17515452--1.17519146) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75583276-1.75592863) × cos(-1.17515452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385400494979936 × 6371000     		do = 235.397908885686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75583276-1.75592863) × cos(-1.17519146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38536640835409 × 6371000     		du = 235.377089191499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17515452)-sin(-1.17519146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385400494979936-0.38536640835409)×R²
    abs(1.75592863-1.75583276)×3.40866258454198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40866258454198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40866258454198e-05×40589641000000     		ar = 55397.2097671701m²