Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51080 / 49529
↖ ↑ ↗
← S 67.325042°
E100.590820°		 ← 235.48 m → S 67.325042°
E100.596314°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
S 67.327160°
E100.590820°		 ← 235.46 m →
55 448 m²		 S 67.327160°
E100.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779426574707031 y=0.755760192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779426574707031 × 216)
    floor (0.779426574707031 × 65536)
    floor (51080.5)     		tx = 51080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755760192871094 × 216)
    floor (0.755760192871094 × 65536)
    floor (49529.5)     		ty = 49529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51080 / 49529 ti = "16/51080/49529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51080/49529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51080 ÷ 216
    51080 ÷ 65536     		x = 0.7794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49529 ÷ 216
    49529 ÷ 65536     		y = 0.755752563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    0.558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75564101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755752563476562 × 2 - 1) × π
    -0.511505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60694074906352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75564101} λ = 1.75564101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60694074906352))-π/2
    2×atan(0.200500056775992)-π/2
    2×0.197876337402043-π/2
    0.395752674804086-1.57079632675     		φ = -1.17504365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75564101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17504365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.325042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51080 KachelY 49529 1.75564101 -1.17504365 100.590820 -67.325042
    Oben rechts KachelX + 1 51081 KachelY 49529 1.75573689 -1.17504365 100.596314 -67.325042
    Unten links KachelX 51080 KachelY + 1 49530 1.75564101 -1.17508061 100.590820 -67.327160
    Unten rechts KachelX + 1 51081 KachelY + 1 49530 1.75573689 -1.17508061 100.596314 -67.327160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17504365--1.17508061) × R
    3.69599999998638e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17504365--1.17508061) × R
    3.69599999998638e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75564101-1.75573689) × cos(-1.17504365) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385502797837199 × 6371000     		do = 235.484954603385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75564101-1.75573689) × cos(-1.17508061) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385468694335497 × 6371000     		du = 235.464122428897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17504365)-sin(-1.17508061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385502797837199-0.385468694335497)×R²
    abs(1.75573689-1.75564101)×3.41035017015212e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.41035017015212e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.41035017015212e-05×40589641000000     		ar = 55447.6982154876m²