Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51079 / 48520
↖ ↑ ↗
← S 65.090646°
E100.585327°		 ← 257.25 m → S 65.090646°
E100.590820°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 65.092959°
E100.585327°		 ← 257.23 m →
66 179 m²		 S 65.092959°
E100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779411315917969 y=0.740364074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779411315917969 × 216)
    floor (0.779411315917969 × 65536)
    floor (51079.5)     		tx = 51079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740364074707031 × 216)
    floor (0.740364074707031 × 65536)
    floor (48520.5)     		ty = 48520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51079 / 48520 ti = "16/51079/48520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51079/48520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51079 ÷ 216
    51079 ÷ 65536     		x = 0.779403686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48520 ÷ 216
    48520 ÷ 65536     		y = 0.7403564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779403686523438 × 2 - 1) × π
    0.558807373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75554514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.480712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51020408563025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75554514} λ = 1.75554514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51020408563025))-π/2
    2×atan(0.22086489800754)-π/2
    2×0.217375124574277-π/2
    0.434750249148554-1.57079632675     		φ = -1.13604608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75554514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13604608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.090646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51079 KachelY 48520 1.75554514 -1.13604608 100.585327 -65.090646
    Oben rechts KachelX + 1 51080 KachelY 48520 1.75564101 -1.13604608 100.590820 -65.090646
    Unten links KachelX 51079 KachelY + 1 48521 1.75554514 -1.13608646 100.585327 -65.092959
    Unten rechts KachelX + 1 51080 KachelY + 1 48521 1.75564101 -1.13608646 100.590820 -65.092959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13604608--1.13608646) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13604608--1.13608646) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75554514-1.75564101) × cos(-1.13604608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421183894526239 × 6371000     		do = 257.253971697591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75554514-1.75564101) × cos(-1.13608646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421147270521765 × 6371000     		du = 257.23160220357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13604608)-sin(-1.13608646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421183894526239-0.421147270521765)×R²
    abs(1.75564101-1.75554514)×3.66240044738508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66240044738508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66240044738508e-05×40589641000000     		ar = 66178.5314777795m²