Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51078 / 48490
↖ ↑ ↗
← S 65.021146°
E100.579834°		 ← 257.95 m → S 65.021146°
E100.585327°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
S 65.023466°
E100.579834°		 ← 257.93 m →
66 539 m²		 S 65.023466°
E100.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779396057128906 y=0.739906311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779396057128906 × 216)
    floor (0.779396057128906 × 65536)
    floor (51078.5)     		tx = 51078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739906311035156 × 216)
    floor (0.739906311035156 × 65536)
    floor (48490.5)     		ty = 48490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51078 / 48490 ti = "16/51078/48490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51078/48490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51078 ÷ 216
    51078 ÷ 65536     		x = 0.779388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48490 ÷ 216
    48490 ÷ 65536     		y = 0.739898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779388427734375 × 2 - 1) × π
    0.55877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75544926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.47979736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50732787165305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75544926} λ = 1.75544926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50732787165305))-π/2
    2×atan(0.221501067154995)-π/2
    2×0.217981622659282-π/2
    0.435963245318563-1.57079632675     		φ = -1.13483308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75544926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13483308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.021146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51078 KachelY 48490 1.75544926 -1.13483308 100.579834 -65.021146
    Oben rechts KachelX + 1 51079 KachelY 48490 1.75554514 -1.13483308 100.585327 -65.021146
    Unten links KachelX 51078 KachelY + 1 48491 1.75544926 -1.13487357 100.579834 -65.023466
    Unten rechts KachelX + 1 51079 KachelY + 1 48491 1.75554514 -1.13487357 100.585327 -65.023466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13483308--1.13487357) × R
    4.04900000001707e-05 × 6371000     		dl = 257.961790001087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13483308--1.13487357) × R
    4.04900000001707e-05 × 6371000     		dr = 257.961790001087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75544926-1.75554514) × cos(-1.13483308) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422283745391573 × 6371000     		do = 257.952650852216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75544926-1.75554514) × cos(-1.13487357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422247042330239 × 6371000     		du = 257.93023073288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13483308)-sin(-1.13487357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422283745391573-0.422247042330239)×R²
    abs(1.75554514-1.75544926)×3.67030613343533e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.67030613343533e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.67030613343533e-05×40589641000000     		ar = 66539.0357917424m²