Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51075 / 49525
↖ ↑ ↗
← S 67.316570°
E100.563354°		 ← 235.57 m → S 67.316570°
E100.568848°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
S 67.318688°
E100.563354°		 ← 235.55 m →
55 482 m²		 S 67.318688°
E100.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779350280761719 y=0.755699157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779350280761719 × 216)
    floor (0.779350280761719 × 65536)
    floor (51075.5)     		tx = 51075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755699157714844 × 216)
    floor (0.755699157714844 × 65536)
    floor (49525.5)     		ty = 49525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51075 / 49525 ti = "16/51075/49525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51075/49525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51075 ÷ 216
    51075 ÷ 65536     		x = 0.779342651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49525 ÷ 216
    49525 ÷ 65536     		y = 0.755691528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779342651367188 × 2 - 1) × π
    0.558685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75516164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755691528320312 × 2 - 1) × π
    -0.511383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60655725386656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75516164} λ = 1.75516164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60655725386656))-π/2
    2×atan(0.200576962330269)-π/2
    2×0.19795026971695-π/2
    0.395900539433899-1.57079632675     		φ = -1.17489579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75516164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.563354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17489579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.316570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51075 KachelY 49525 1.75516164 -1.17489579 100.563354 -67.316570
    Oben rechts KachelX + 1 51076 KachelY 49525 1.75525752 -1.17489579 100.568848 -67.316570
    Unten links KachelX 51075 KachelY + 1 49526 1.75516164 -1.17493276 100.563354 -67.318688
    Unten rechts KachelX + 1 51076 KachelY + 1 49526 1.75525752 -1.17493276 100.568848 -67.318688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17489579--1.17493276) × R
    3.6969999999803e-05 × 6371000     		dl = 235.535869998745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17489579--1.17493276) × R
    3.6969999999803e-05 × 6371000     		dr = 235.535869998745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75516164-1.75525752) × cos(-1.17489579) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385639225030404 × 6371000     		do = 235.568291355721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75516164-1.75525752) × cos(-1.17493276) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38560511440908 × 6371000     		du = 235.547454832201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17489579)-sin(-1.17493276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385639225030404-0.38560511440908)×R²
    abs(1.75525752-1.75516164)×3.4110621324579e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4110621324579e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4110621324579e-05×40589641000000     		ar = 55482.3285802712m²