Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51073 / 49575
↖ ↑ ↗
← S 67.422255°
E100.552368°		 ← 234.50 m → S 67.422255°
E100.557861°		 →
↑
234.52 m
↓
↑
234.52 m
↓
S 67.424364°
E100.552368°		 ← 234.48 m →
54 993 m²		 S 67.424364°
E100.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779319763183594 y=0.756462097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779319763183594 × 216)
    floor (0.779319763183594 × 65536)
    floor (51073.5)     		tx = 51073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756462097167969 × 216)
    floor (0.756462097167969 × 65536)
    floor (49575.5)     		ty = 49575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51073 / 49575 ti = "16/51073/49575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51073/49575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51073 ÷ 216
    51073 ÷ 65536     		x = 0.779312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49575 ÷ 216
    49575 ÷ 65536     		y = 0.756454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75496990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756454467773438 × 2 - 1) × π
    -0.512908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61135094382857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75496990} λ = 1.75496990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61135094382857))-π/2
    2×atan(0.19961775945676)-π/2
    2×0.197027993863582-π/2
    0.394055987727164-1.57079632675     		φ = -1.17674034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75496990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17674034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.422255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51073 KachelY 49575 1.75496990 -1.17674034 100.552368 -67.422255
    Oben rechts KachelX + 1 51074 KachelY 49575 1.75506577 -1.17674034 100.557861 -67.422255
    Unten links KachelX 51073 KachelY + 1 49576 1.75496990 -1.17677715 100.552368 -67.424364
    Unten rechts KachelX + 1 51074 KachelY + 1 49576 1.75506577 -1.17677715 100.557861 -67.424364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17674034--1.17677715) × R
    3.68099999998872e-05 × 6371000     		dl = 234.516509999281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17674034--1.17677715) × R
    3.68099999998872e-05 × 6371000     		dr = 234.516509999281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75496990-1.75506577) × cos(-1.17674034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383936696529636 × 6371000     		do = 234.503838694498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75496990-1.75506577) × cos(-1.17677715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38390270740939 × 6371000     		du = 234.483078555539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17674034)-sin(-1.17677715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383936696529636-0.38390270740939)×R²
    abs(1.75506577-1.75496990)×3.39891202463805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39891202463805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39891202463805e-05×40589641000000     		ar = 54992.5875406735m²