Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51073 / 49543
↖ ↑ ↗
← S 67.354671°
E100.552368°		 ← 235.17 m → S 67.354671°
E100.557861°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
S 67.356785°
E100.552368°		 ← 235.15 m →
55 298 m²		 S 67.356785°
E100.557861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779319763183594 y=0.755973815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779319763183594 × 216)
    floor (0.779319763183594 × 65536)
    floor (51073.5)     		tx = 51073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755973815917969 × 216)
    floor (0.755973815917969 × 65536)
    floor (49543.5)     		ty = 49543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51073 / 49543 ti = "16/51073/49543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51073/49543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51073 ÷ 216
    51073 ÷ 65536     		x = 0.779312133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49543 ÷ 216
    49543 ÷ 65536     		y = 0.755966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779312133789062 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75496990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.511932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60828298225288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75496990} λ = 1.75496990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60828298225288))-π/2
    2×atan(0.200231119473981)-π/2
    2×0.197617780232847-π/2
    0.395235560465694-1.57079632675     		φ = -1.17556077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75496990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.552368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17556077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.354671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51073 KachelY 49543 1.75496990 -1.17556077 100.552368 -67.354671
    Oben rechts KachelX + 1 51074 KachelY 49543 1.75506577 -1.17556077 100.557861 -67.354671
    Unten links KachelX 51073 KachelY + 1 49544 1.75496990 -1.17559768 100.552368 -67.356785
    Unten rechts KachelX + 1 51074 KachelY + 1 49544 1.75506577 -1.17559768 100.557861 -67.356785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17556077--1.17559768) × R
    3.69100000001676e-05 × 6371000     		dl = 235.153610001068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17556077--1.17559768) × R
    3.69100000001676e-05 × 6371000     		dr = 235.153610001068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75496990-1.75506577) × cos(-1.17556077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38502559624271 × 6371000     		do = 235.168925322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75496990-1.75506577) × cos(-1.17559768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384991531523879 × 6371000     		du = 235.14811900835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17556077)-sin(-1.17559768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38502559624271-0.384991531523879)×R²
    abs(1.75506577-1.75496990)×3.4064718830551e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4064718830551e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4064718830551e-05×40589641000000     		ar = 55298.3754160445m²