Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51071 / 48512
S 65.072130°
E100.541382°
← 257.43 m → S 65.072130°
E100.546875°

257.45 m

257.45 m
S 65.074445°
E100.541382°
← 257.41 m →
66 274 m²
S 65.074445°
E100.546875°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779289245605469 y=0.740242004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779289245605469 × 216)
    floor (0.779289245605469 × 65536)
    floor (51071.5)
    tx = 51071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740242004394531 × 216)
    floor (0.740242004394531 × 65536)
    floor (48512.5)
    ty = 48512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51071 / 48512 ti = "16/51071/48512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51071/48512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51071 ÷ 216
    51071 ÷ 65536
    x = 0.779281616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48512 ÷ 216
    48512 ÷ 65536
    y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.779281616210938 × 2 - 1) × π
    0.558563232421875 × 3.1415926535
    Λ = 1.75477815
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535
    Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75477815} λ = 1.75477815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675
    φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75477815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.541382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51071 KachelY 48512 1.75477815 -1.13572292 100.541382 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 51072 KachelY 48512 1.75487402 -1.13572292 100.546875 -65.072130
    Unten links KachelX 51071 KachelY + 1 48513 1.75477815 -1.13576333 100.541382 -65.074445
    Unten rechts KachelX + 1 51072 KachelY + 1 48513 1.75487402 -1.13576333 100.546875 -65.074445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.13572292--1.13576333) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000
    dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.13572292--1.13576333) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000
    dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.75477815-1.75487402) × cos(-1.13572292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421476970654384 × 6371000
    do = 257.432979012341m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.75477815-1.75487402) × cos(-1.13576333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421440324942013 × 6371000
    du = 257.410596259402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13576333))×
    abs(λ12)×abs(0.421476970654384-0.421440324942013)×
    abs(1.75487402-1.75477815)×3.66457123712749e-05×
    9.58699999999979e-05×3.66457123712749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66457123712749e-05×40589641000000
    ar = 66273.7823960691m²