Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51070 / 49576
↖ ↑ ↗
← S 67.424364°
E100.535888°		 ← 234.51 m → S 67.424364°
E100.541382°		 →
↑
234.45 m
↓
↑
234.45 m
↓
S 67.426473°
E100.535888°		 ← 234.49 m →
54 979 m²		 S 67.426473°
E100.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779273986816406 y=0.756477355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779273986816406 × 216)
    floor (0.779273986816406 × 65536)
    floor (51070.5)     		tx = 51070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756477355957031 × 216)
    floor (0.756477355957031 × 65536)
    floor (49576.5)     		ty = 49576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51070 / 49576 ti = "16/51070/49576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51070/49576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51070 ÷ 216
    51070 ÷ 65536     		x = 0.779266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49576 ÷ 216
    49576 ÷ 65536     		y = 0.7564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75468227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61144681762781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75468227} λ = 1.75468227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61144681762781))-π/2
    2×atan(0.199598622261157)-π/2
    2×0.197009589943288-π/2
    0.394019179886575-1.57079632675     		φ = -1.17677715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75468227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.535888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17677715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.424364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51070 KachelY 49576 1.75468227 -1.17677715 100.535888 -67.424364
    Oben rechts KachelX + 1 51071 KachelY 49576 1.75477815 -1.17677715 100.541382 -67.424364
    Unten links KachelX 51070 KachelY + 1 49577 1.75468227 -1.17681395 100.535888 -67.426473
    Unten rechts KachelX + 1 51071 KachelY + 1 49577 1.75477815 -1.17681395 100.541382 -67.426473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17677715--1.17681395) × R
    3.680000000017e-05 × 6371000     		dl = 234.452800001083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17677715--1.17681395) × R
    3.680000000017e-05 × 6371000     		dr = 234.452800001083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75468227-1.75477815) × cos(-1.17677715) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38390270740939 × 6371000     		do = 234.507536996879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75468227-1.75477815) × cos(-1.17681395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383868727002841 × 6371000     		du = 234.486780015248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17677715)-sin(-1.17681395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38390270740939-0.383868727002841)×R²
    abs(1.75477815-1.75468227)×3.39804065488947e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39804065488947e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39804065488947e-05×40589641000000     		ar = 54978.5154102599m²