Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51070 / 49562
↖ ↑ ↗
← S 67.394822°
E100.535888°		 ← 234.80 m → S 67.394822°
E100.541382°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
S 67.396933°
E100.535888°		 ← 234.78 m →
55 121 m²		 S 67.396933°
E100.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779273986816406 y=0.756263732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779273986816406 × 216)
    floor (0.779273986816406 × 65536)
    floor (51070.5)     		tx = 51070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756263732910156 × 216)
    floor (0.756263732910156 × 65536)
    floor (49562.5)     		ty = 49562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51070 / 49562 ti = "16/51070/49562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51070/49562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51070 ÷ 216
    51070 ÷ 65536     		x = 0.779266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49562 ÷ 216
    49562 ÷ 65536     		y = 0.756256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75468227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.51251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61010458443845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75468227} λ = 1.75468227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61010458443845))-π/2
    2×atan(0.199866710034412)-π/2
    2×0.197267393136875-π/2
    0.394534786273751-1.57079632675     		φ = -1.17626154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75468227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.535888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17626154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.394822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51070 KachelY 49562 1.75468227 -1.17626154 100.535888 -67.394822
    Oben rechts KachelX + 1 51071 KachelY 49562 1.75477815 -1.17626154 100.541382 -67.394822
    Unten links KachelX 51070 KachelY + 1 49563 1.75468227 -1.17629839 100.535888 -67.396933
    Unten rechts KachelX + 1 51071 KachelY + 1 49563 1.75477815 -1.17629839 100.541382 -67.396933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17626154--1.17629839) × R
    3.68499999998662e-05 × 6371000     		dl = 234.771349999147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17626154--1.17629839) × R
    3.68499999998662e-05 × 6371000     		dr = 234.771349999147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75468227-1.75477815) × cos(-1.17626154) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384378756992993 × 6371000     		do = 234.798332589576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75468227-1.75477815) × cos(-1.17629839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384344737715499 × 6371000     		du = 234.77755186357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17626154)-sin(-1.17629839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384378756992993-0.384344737715499)×R²
    abs(1.75477815-1.75468227)×3.40192774943016e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40192774943016e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40192774943016e-05×40589641000000     		ar = 55121.4821662189m²