Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5107 / 1085
↖ ↑ ↗
← N 78.655967°
E 44.428711°		 ← 961.17 m → N 78.655967°
E 44.472656°		 →
↑
961.51 m
↓
↑
961.51 m
↓
N 78.647320°
E 44.428711°		 ← 961.89 m →
924 525 m²		 N 78.647320°
E 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62347412109375 y=0.13250732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62347412109375 × 213)
    floor (0.62347412109375 × 8192)
    floor (5107.5)     		tx = 5107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13250732421875 × 213)
    floor (0.13250732421875 × 8192)
    floor (1085.5)     		ty = 1085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5107 / 1085 ti = "13/5107/1085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5107/1085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5107 ÷ 213
    5107 ÷ 8192     		x = 0.6234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1085 ÷ 213
    1085 ÷ 8192     		y = 0.1324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6234130859375 × 2 - 1) × π
    0.246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77542729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    0.735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30940807609583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77542729} λ = 0.77542729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30940807609583))-π/2
    2×atan(10.0684631267991)-π/2
    2×1.47180096303577-π/2
    2.94360192607154-1.57079632675     		φ = 1.37280560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77542729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37280560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.655967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5107 KachelY 1085 0.77542729 1.37280560 44.428711 78.655967
    Oben rechts KachelX + 1 5108 KachelY 1085 0.77619428 1.37280560 44.472656 78.655967
    Unten links KachelX 5107 KachelY + 1 1086 0.77542729 1.37265468 44.428711 78.647320
    Unten rechts KachelX + 1 5108 KachelY + 1 1086 0.77619428 1.37265468 44.472656 78.647320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37280560-1.37265468) × R
    0.000150920000000054 × 6371000     		dl = 961.511320000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37280560-1.37265468) × R
    0.000150920000000054 × 6371000     		dr = 961.511320000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77542729-0.77619428) × cos(1.37280560) × R
    0.000766990000000023 × 0.196699709574332 × 6371000     		do = 961.171810979952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77542729-0.77619428) × cos(1.37265468) × R
    0.000766990000000023 × 0.196847678927376 × 6371000     		du = 961.894862230728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37280560)-sin(1.37265468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196699709574332-0.196847678927376)×R²
    abs(0.77619428-0.77542729)×0.000147969353044203×R²
    0.000766990000000023×0.000147969353044203×6371000²
    0.000766990000000023×0.000147969353044203×40589641000000     		ar = 924525.189460011m²