Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51069 / 48820
↖ ↑ ↗
← S 65.775744°
E100.530396°		 ← 250.61 m → S 65.775744°
E100.535888°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
S 65.777997°
E100.530396°		 ← 250.59 m →
62 793 m²		 S 65.777997°
E100.535888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779258728027344 y=0.744941711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779258728027344 × 216)
    floor (0.779258728027344 × 65536)
    floor (51069.5)     		tx = 51069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744941711425781 × 216)
    floor (0.744941711425781 × 65536)
    floor (48820.5)     		ty = 48820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51069 / 48820 ti = "16/51069/48820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51069/48820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51069 ÷ 216
    51069 ÷ 65536     		x = 0.779251098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48820 ÷ 216
    48820 ÷ 65536     		y = 0.74493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779251098632812 × 2 - 1) × π
    0.558502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75458640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53896622540228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75458640} λ = 1.75458640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53896622540228))-π/2
    2×atan(0.214602837756809)-π/2
    2×0.211396514492515-π/2
    0.42279302898503-1.57079632675     		φ = -1.14800330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75458640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.530396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14800330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.775744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51069 KachelY 48820 1.75458640 -1.14800330 100.530396 -65.775744
    Oben rechts KachelX + 1 51070 KachelY 48820 1.75468227 -1.14800330 100.535888 -65.775744
    Unten links KachelX 51069 KachelY + 1 48821 1.75458640 -1.14804263 100.530396 -65.777997
    Unten rechts KachelX + 1 51070 KachelY + 1 48821 1.75468227 -1.14804263 100.535888 -65.777997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14800330--1.14804263) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dl = 250.571429999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14800330--1.14804263) × R
    3.93299999998931e-05 × 6371000     		dr = 250.571429999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75458640-1.75468227) × cos(-1.14800330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410309141151853 × 6371000     		do = 250.61180533475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75458640-1.75468227) × cos(-1.14804263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410273273978894 × 6371000     		du = 250.589898104162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14800330)-sin(-1.14804263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410309141151853-0.410273273978894)×R²
    abs(1.75468227-1.75458640)×3.58671729593918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58671729593918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58671729593918e-05×40589641000000     		ar = 62793.4137824041m²