Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51068 / 48790
↖ ↑ ↗
← S 65.708038°
E100.524903°		 ← 251.27 m → S 65.708038°
E100.530396°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
S 65.710298°
E100.524903°		 ← 251.25 m →
63 134 m²		 S 65.710298°
E100.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779243469238281 y=0.744483947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779243469238281 × 216)
    floor (0.779243469238281 × 65536)
    floor (51068.5)     		tx = 51068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744483947753906 × 216)
    floor (0.744483947753906 × 65536)
    floor (48790.5)     		ty = 48790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51068 / 48790 ti = "16/51068/48790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51068/48790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51068 ÷ 216
    51068 ÷ 65536     		x = 0.77923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48790 ÷ 216
    48790 ÷ 65536     		y = 0.744476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.48895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53609001142508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75449053} λ = 1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53609001142508))-π/2
    2×atan(0.215220969952413)-π/2
    2×0.211987357339367-π/2
    0.423974714678734-1.57079632675     		φ = -1.14682161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14682161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.708038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51068 KachelY 48790 1.75449053 -1.14682161 100.524903 -65.708038
    Oben rechts KachelX + 1 51069 KachelY 48790 1.75458640 -1.14682161 100.530396 -65.708038
    Unten links KachelX 51068 KachelY + 1 48791 1.75449053 -1.14686105 100.524903 -65.710298
    Unten rechts KachelX + 1 51069 KachelY + 1 48791 1.75458640 -1.14686105 100.530396 -65.710298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14682161--1.14686105) × R
    3.94400000001127e-05 × 6371000     		dl = 251.272240000718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14682161--1.14686105) × R
    3.94400000001127e-05 × 6371000     		dr = 251.272240000718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75449053-1.75458640) × cos(-1.14682161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41138649247803 × 6371000     		do = 251.269838348772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75449053-1.75458640) × cos(-1.14686105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411350544136256 × 6371000     		du = 251.247881541265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14682161)-sin(-1.14686105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41138649247803-0.411350544136256)×R²
    abs(1.75458640-1.75449053)×3.59483417739503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59483417739503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59483417739503e-05×40589641000000     		ar = 63134.3765667208m²