Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51068 / 48785
↖ ↑ ↗
← S 65.696737°
E100.524903°		 ← 251.38 m → S 65.696737°
E100.530396°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
S 65.698997°
E100.524903°		 ← 251.36 m →
63 194 m²		 S 65.698997°
E100.530396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779243469238281 y=0.744407653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779243469238281 × 216)
    floor (0.779243469238281 × 65536)
    floor (51068.5)     		tx = 51068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744407653808594 × 216)
    floor (0.744407653808594 × 65536)
    floor (48785.5)     		ty = 48785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51068 / 48785 ti = "16/51068/48785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51068/48785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51068 ÷ 216
    51068 ÷ 65536     		x = 0.77923583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48785 ÷ 216
    48785 ÷ 65536     		y = 0.744400024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75449053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744400024414062 × 2 - 1) × π
    -0.488800048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53561064242888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75449053} λ = 1.75449053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53561064242888))-π/2
    2×atan(0.215324164945004)-π/2
    2×0.212085981847484-π/2
    0.424171963694968-1.57079632675     		φ = -1.14662436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75449053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.524903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14662436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.696737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51068 KachelY 48785 1.75449053 -1.14662436 100.524903 -65.696737
    Oben rechts KachelX + 1 51069 KachelY 48785 1.75458640 -1.14662436 100.530396 -65.696737
    Unten links KachelX 51068 KachelY + 1 48786 1.75449053 -1.14666382 100.524903 -65.698997
    Unten rechts KachelX + 1 51069 KachelY + 1 48786 1.75458640 -1.14666382 100.530396 -65.698997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14662436--1.14666382) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14662436--1.14666382) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75449053-1.75458640) × cos(-1.14662436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411566270156014 × 6371000     		do = 251.379644355804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75449053-1.75458640) × cos(-1.14666382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411530306787276 × 6371000     		du = 251.357678370011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14662436)-sin(-1.14666382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411566270156014-0.411530306787276)×R²
    abs(1.75458640-1.75449053)×3.59633687381233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59633687381233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59633687381233e-05×40589641000000     		ar = 63193.9960093365m²