Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51067 / 48819
↖ ↑ ↗
← S 65.773490°
E100.519409°		 ← 250.66 m → S 65.773490°
E100.524903°		 →
↑
250.64 m
↓
↑
250.64 m
↓
S 65.775744°
E100.519409°		 ← 250.64 m →
62 821 m²		 S 65.775744°
E100.524903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779228210449219 y=0.744926452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779228210449219 × 216)
    floor (0.779228210449219 × 65536)
    floor (51067.5)     		tx = 51067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744926452636719 × 216)
    floor (0.744926452636719 × 65536)
    floor (48819.5)     		ty = 48819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51067 / 48819 ti = "16/51067/48819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51067/48819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51067 ÷ 216
    51067 ÷ 65536     		x = 0.779220581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48819 ÷ 216
    48819 ÷ 65536     		y = 0.744918823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779220581054688 × 2 - 1) × π
    0.558441162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75439465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744918823242188 × 2 - 1) × π
    -0.489837646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53887035160304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75439465} λ = 1.75439465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53887035160304))-π/2
    2×atan(0.214623413532516)-π/2
    2×0.211416184300589-π/2
    0.422832368601177-1.57079632675     		φ = -1.14796396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75439465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14796396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.773490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51067 KachelY 48819 1.75439465 -1.14796396 100.519409 -65.773490
    Oben rechts KachelX + 1 51068 KachelY 48819 1.75449053 -1.14796396 100.524903 -65.773490
    Unten links KachelX 51067 KachelY + 1 48820 1.75439465 -1.14800330 100.519409 -65.775744
    Unten rechts KachelX + 1 51068 KachelY + 1 48820 1.75449053 -1.14800330 100.524903 -65.775744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14796396--1.14800330) × R
    3.93400000000543e-05 × 6371000     		dl = 250.635140000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14796396--1.14800330) × R
    3.93400000000543e-05 × 6371000     		dr = 250.635140000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75439465-1.75449053) × cos(-1.14796396) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41034501680943 × 6371000     		do = 250.659860828501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75439465-1.75449053) × cos(-1.14800330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410309141151853 × 6371000     		du = 250.637946129974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14796396)-sin(-1.14800330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41034501680943-0.410309141151853)×R²
    abs(1.75449053-1.75439465)×3.58756575767893e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.58756575767893e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.58756575767893e-05×40589641000000     		ar = 62821.4230224954m²