Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51067 / 48141
↖ ↑ ↗
← S 64.199205°
E100.519409°		 ← 265.87 m → S 64.199205°
E100.524903°		 →
↑
265.86 m
↓
↑
265.86 m
↓
S 64.201596°
E100.519409°		 ← 265.85 m →
70 681 m²		 S 64.201596°
E100.524903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779228210449219 y=0.734580993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779228210449219 × 216)
    floor (0.779228210449219 × 65536)
    floor (51067.5)     		tx = 51067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734580993652344 × 216)
    floor (0.734580993652344 × 65536)
    floor (48141.5)     		ty = 48141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51067 / 48141 ti = "16/51067/48141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51067/48141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51067 ÷ 216
    51067 ÷ 65536     		x = 0.779220581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48141 ÷ 216
    48141 ÷ 65536     		y = 0.734573364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779220581054688 × 2 - 1) × π
    0.558441162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75439465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734573364257812 × 2 - 1) × π
    -0.469146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47386791571825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75439465} λ = 1.75439465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47386791571825))-π/2
    2×atan(0.229037870504552)-π/2
    2×0.225154406150989-π/2
    0.450308812301978-1.57079632675     		φ = -1.12048751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75439465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12048751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.199205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51067 KachelY 48141 1.75439465 -1.12048751 100.519409 -64.199205
    Oben rechts KachelX + 1 51068 KachelY 48141 1.75449053 -1.12048751 100.524903 -64.199205
    Unten links KachelX 51067 KachelY + 1 48142 1.75439465 -1.12052924 100.519409 -64.201596
    Unten rechts KachelX + 1 51068 KachelY + 1 48142 1.75449053 -1.12052924 100.524903 -64.201596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12048751--1.12052924) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dl = 265.861829999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12048751--1.12052924) × R
    4.17299999999621e-05 × 6371000     		dr = 265.861829999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75439465-1.75449053) × cos(-1.12048751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435243586554077 × 6371000     		do = 265.869189006892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75439465-1.75449053) × cos(-1.12052924) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.435206016124702 × 6371000     		du = 265.846239054504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12048751)-sin(-1.12052924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435243586554077-0.435206016124702)×R²
    abs(1.75449053-1.75439465)×3.75704293754664e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.75704293754664e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.75704293754664e-05×40589641000000     		ar = 70681.4183819271m²