Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51063 / 49565
↖ ↑ ↗
← S 67.401155°
E100.497437°		 ← 234.71 m → S 67.401155°
E100.502930°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
S 67.403266°
E100.497437°		 ← 234.69 m →
55 086 m²		 S 67.403266°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779167175292969 y=0.756309509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779167175292969 × 216)
    floor (0.779167175292969 × 65536)
    floor (51063.5)     		tx = 51063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756309509277344 × 216)
    floor (0.756309509277344 × 65536)
    floor (49565.5)     		ty = 49565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51063 / 49565 ti = "16/51063/49565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51063/49565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51063 ÷ 216
    51063 ÷ 65536     		x = 0.779159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49565 ÷ 216
    49565 ÷ 65536     		y = 0.756301879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    0.558319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75401116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756301879882812 × 2 - 1) × π
    -0.512603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61039220583617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75401116} λ = 1.75401116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61039220583617))-π/2
    2×atan(0.199809232358215)-π/2
    2×0.197212122697554-π/2
    0.394424245395108-1.57079632675     		φ = -1.17637208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75401116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17637208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.401155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51063 KachelY 49565 1.75401116 -1.17637208 100.497437 -67.401155
    Oben rechts KachelX + 1 51064 KachelY 49565 1.75410703 -1.17637208 100.502930 -67.401155
    Unten links KachelX 51063 KachelY + 1 49566 1.75401116 -1.17640892 100.497437 -67.403266
    Unten rechts KachelX + 1 51064 KachelY + 1 49566 1.75410703 -1.17640892 100.502930 -67.403266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17637208--1.17640892) × R
    3.6840000000149e-05 × 6371000     		dl = 234.707640000949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17637208--1.17640892) × R
    3.6840000000149e-05 × 6371000     		dr = 234.707640000949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75401116-1.75410703) × cos(-1.17637208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384276706827005 × 6371000     		do = 234.711512825805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75401116-1.75410703) × cos(-1.17640892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384242695216381 × 6371000     		du = 234.690738949998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17637208)-sin(-1.17640892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384276706827005-0.384242695216381)×R²
    abs(1.75410703-1.75401116)×3.40116106242183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40116106242183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40116106242183e-05×40589641000000     		ar = 55086.1473685632m²