Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51063 / 48728
↖ ↑ ↗
← S 65.567549°
E100.497437°		 ← 252.63 m → S 65.567549°
E100.502930°		 →
↑
252.67 m
↓
↑
252.67 m
↓
S 65.569822°
E100.497437°		 ← 252.61 m →
63 831 m²		 S 65.569822°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779167175292969 y=0.743537902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779167175292969 × 216)
    floor (0.779167175292969 × 65536)
    floor (51063.5)     		tx = 51063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743537902832031 × 216)
    floor (0.743537902832031 × 65536)
    floor (48728.5)     		ty = 48728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51063 / 48728 ti = "16/51063/48728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51063/48728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51063 ÷ 216
    51063 ÷ 65536     		x = 0.779159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48728 ÷ 216
    48728 ÷ 65536     		y = 0.7435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    0.558319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75401116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75401116} λ = 1.75401116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53014583587219))-π/2
    2×atan(0.216504090950643)-π/2
    2×0.213213351022781-π/2
    0.426426702045561-1.57079632675     		φ = -1.14436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75401116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.567549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51063 KachelY 48728 1.75401116 -1.14436962 100.497437 -65.567549
    Oben rechts KachelX + 1 51064 KachelY 48728 1.75410703 -1.14436962 100.502930 -65.567549
    Unten links KachelX 51063 KachelY + 1 48729 1.75401116 -1.14440928 100.497437 -65.569822
    Unten rechts KachelX + 1 51064 KachelY + 1 48729 1.75410703 -1.14440928 100.502930 -65.569822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14436962--1.14440928) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dl = 252.673860000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14436962--1.14440928) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dr = 252.673860000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75401116-1.75410703) × cos(-1.14436962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413620146815381 × 6371000     		do = 252.634127100434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75401116-1.75410703) × cos(-1.14440928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413584038061138 × 6371000     		du = 252.612072314952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14436962)-sin(-1.14440928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413620146815381-0.413584038061138)×R²
    abs(1.75410703-1.75401116)×3.61087542435912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61087542435912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61087542435912e-05×40589641000000     		ar = 63831.2537366082m²