Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51061 / 48142
↖ ↑ ↗
← S 64.201596°
E100.486450°		 ← 265.82 m → S 64.201596°
E100.491943°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 64.203987°
E100.486450°		 ← 265.80 m →
70 651 m²		 S 64.203987°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779136657714844 y=0.734596252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779136657714844 × 216)
    floor (0.779136657714844 × 65536)
    floor (51061.5)     		tx = 51061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734596252441406 × 216)
    floor (0.734596252441406 × 65536)
    floor (48142.5)     		ty = 48142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51061 / 48142 ti = "16/51061/48142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51061/48142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51061 ÷ 216
    51061 ÷ 65536     		x = 0.779129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48142 ÷ 216
    48142 ÷ 65536     		y = 0.734588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779129028320312 × 2 - 1) × π
    0.558258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75381941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.46917724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47396378951749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75381941} λ = 1.75381941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47396378951749))-π/2
    2×atan(0.229015912826336)-π/2
    2×0.225133542823507-π/2
    0.450267085647014-1.57079632675     		φ = -1.12052924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75381941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12052924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.201596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51061 KachelY 48142 1.75381941 -1.12052924 100.486450 -64.201596
    Oben rechts KachelX + 1 51062 KachelY 48142 1.75391528 -1.12052924 100.491943 -64.201596
    Unten links KachelX 51061 KachelY + 1 48143 1.75381941 -1.12057096 100.486450 -64.203987
    Unten rechts KachelX + 1 51062 KachelY + 1 48143 1.75391528 -1.12057096 100.491943 -64.203987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12052924--1.12057096) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12052924--1.12057096) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75381941-1.75391528) × cos(-1.12052924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435206016124702 × 6371000     		do = 265.818512079385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75381941-1.75391528) × cos(-1.12057096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435168453940952 × 6371000     		du = 265.795569556936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12052924)-sin(-1.12057096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435206016124702-0.435168453940952)×R²
    abs(1.75391528-1.75381941)×3.75621837496731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75621837496731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75621837496731e-05×40589641000000     		ar = 70651.0117423384m²