Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51061 / 48058
↖ ↑ ↗
← S 64.000051°
E100.486450°		 ← 267.75 m → S 64.000051°
E100.491943°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 64.002460°
E100.486450°		 ← 267.73 m →
71 693 m²		 S 64.002460°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779136657714844 y=0.733314514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779136657714844 × 216)
    floor (0.779136657714844 × 65536)
    floor (51061.5)     		tx = 51061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733314514160156 × 216)
    floor (0.733314514160156 × 65536)
    floor (48058.5)     		ty = 48058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51061 / 48058 ti = "16/51061/48058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51061/48058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51061 ÷ 216
    51061 ÷ 65536     		x = 0.779129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48058 ÷ 216
    48058 ÷ 65536     		y = 0.733306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779129028320312 × 2 - 1) × π
    0.558258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75381941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.46661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46591039038132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75381941} λ = 1.75381941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46591039038132))-π/2
    2×atan(0.230867716027452)-π/2
    2×0.226892351702483-π/2
    0.453784703404967-1.57079632675     		φ = -1.11701162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75381941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11701162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.000051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51061 KachelY 48058 1.75381941 -1.11701162 100.486450 -64.000051
    Oben rechts KachelX + 1 51062 KachelY 48058 1.75391528 -1.11701162 100.491943 -64.000051
    Unten links KachelX 51061 KachelY + 1 48059 1.75381941 -1.11705365 100.486450 -64.002460
    Unten rechts KachelX + 1 51062 KachelY + 1 48059 1.75391528 -1.11705365 100.491943 -64.002460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11701162--1.11705365) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dl = 267.77312999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11701162--1.11705365) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dr = 267.77312999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75381941-1.75391528) × cos(-1.11701162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438370339021453 × 6371000     		do = 267.751241805052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75381941-1.75391528) × cos(-1.11705365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438332562303945 × 6371000     		du = 267.728168248007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11701162)-sin(-1.11705365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438370339021453-0.438332562303945)×R²
    abs(1.75391528-1.75381941)×3.77767175087085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77767175087085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77767175087085e-05×40589641000000     		ar = 71693.4988509503m²