Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51060 / 49828
↖ ↑ ↗
← S 67.949900°
E100.480957°		 ← 229.30 m → S 67.949900°
E100.486450°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 67.951963°
E100.480957°		 ← 229.28 m →
52 574 m²		 S 67.951963°
E100.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779121398925781 y=0.760322570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779121398925781 × 216)
    floor (0.779121398925781 × 65536)
    floor (51060.5)     		tx = 51060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760322570800781 × 216)
    floor (0.760322570800781 × 65536)
    floor (49828.5)     		ty = 49828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51060 / 49828 ti = "16/51060/49828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51060/49828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51060 ÷ 216
    51060 ÷ 65536     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49828 ÷ 216
    49828 ÷ 65536     		y = 0.76031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.5206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63560701503632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63560701503632))-π/2
    2×atan(0.194834068187955)-π/2
    2×0.192423419091265-π/2
    0.38484683818253-1.57079632675     		φ = -1.18594949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18594949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.949900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51060 KachelY 49828 1.75372354 -1.18594949 100.480957 -67.949900
    Oben rechts KachelX + 1 51061 KachelY 49828 1.75381941 -1.18594949 100.486450 -67.949900
    Unten links KachelX 51060 KachelY + 1 49829 1.75372354 -1.18598548 100.480957 -67.951963
    Unten rechts KachelX + 1 51061 KachelY + 1 49829 1.75381941 -1.18598548 100.486450 -67.951963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18594949--1.18598548) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dl = 229.292289999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18594949--1.18598548) × R
    3.59899999999858e-05 × 6371000     		dr = 229.292289999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75381941) × cos(-1.18594949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375417180924508 × 6371000     		do = 229.300222756562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75381941) × cos(-1.18598548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375383823135969 × 6371000     		du = 229.279848227288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18594949)-sin(-1.18598548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375417180924508-0.375383823135969)×R²
    abs(1.75381941-1.75372354)×3.33577885396896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33577885396896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33577885396896e-05×40589641000000     		ar = 52574.4373177581m²