Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51060 / 48380
↖ ↑ ↗
← S 64.764759°
E100.480957°		 ← 260.40 m → S 64.764759°
E100.486450°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
S 64.767101°
E100.480957°		 ← 260.38 m →
67 801 m²		 S 64.767101°
E100.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779121398925781 y=0.738227844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779121398925781 × 216)
    floor (0.779121398925781 × 65536)
    floor (51060.5)     		tx = 51060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738227844238281 × 216)
    floor (0.738227844238281 × 65536)
    floor (48380.5)     		ty = 48380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51060 / 48380 ti = "16/51060/48380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51060/48380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51060 ÷ 216
    51060 ÷ 65536     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48380 ÷ 216
    48380 ÷ 65536     		y = 0.73822021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.4764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49678175373663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49678175373663))-π/2
    2×atan(0.223849404684818)-π/2
    2×0.220219019678137-π/2
    0.440438039356274-1.57079632675     		φ = -1.13035829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13035829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.764759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51060 KachelY 48380 1.75372354 -1.13035829 100.480957 -64.764759
    Oben rechts KachelX + 1 51061 KachelY 48380 1.75381941 -1.13035829 100.486450 -64.764759
    Unten links KachelX 51060 KachelY + 1 48381 1.75372354 -1.13039916 100.480957 -64.767101
    Unten rechts KachelX + 1 51061 KachelY + 1 48381 1.75381941 -1.13039916 100.486450 -64.767101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13035829--1.13039916) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dl = 260.38277000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13035829--1.13039916) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dr = 260.38277000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75381941) × cos(-1.13035829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42633573870823 × 6371000     		do = 260.400655116897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75381941) × cos(-1.13039916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426298768780654 × 6371000     		du = 260.378074337276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13035829)-sin(-1.13039916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42633573870823-0.426298768780654)×R²
    abs(1.75381941-1.75372354)×3.69699275762914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69699275762914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69699275762914e-05×40589641000000     		ar = 67800.9040756449m²