Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51059 / 81629
↖ ↑ ↗
← S 40.373751°
W 39.762268°		 ← 232.68 m → S 40.373751°
W 39.759522°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 40.375844°
W 39.762268°		 ← 232.68 m →
54 138 m²		 S 40.375844°
W 39.759522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389553070068359 y=0.622783660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389553070068359 × 217)
    floor (0.389553070068359 × 131072)
    floor (51059.5)     		tx = 51059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622783660888672 × 217)
    floor (0.622783660888672 × 131072)
    floor (81629.5)     		ty = 81629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51059 / 81629 ti = "17/51059/81629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51059/81629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51059 ÷ 217
    51059 ÷ 131072     		x = 0.389549255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81629 ÷ 217
    81629 ÷ 131072     		y = 0.622779846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389549255371094 × 2 - 1) × π
    -0.220901489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.69398250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622779846191406 × 2 - 1) × π
    -0.245559692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.771448525585564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69398250} λ = -0.69398250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771448525585564))-π/2
    2×atan(0.462342867553987)-π/2
    2×0.433070717040431-π/2
    0.866141434080861-1.57079632675     		φ = -0.70465489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69398250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.762268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70465489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.373751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51059 KachelY 81629 -0.69398250 -0.70465489 -39.762268 -40.373751
    Oben rechts KachelX + 1 51060 KachelY 81629 -0.69393456 -0.70465489 -39.759522 -40.373751
    Unten links KachelX 51059 KachelY + 1 81630 -0.69398250 -0.70469141 -39.762268 -40.375844
    Unten rechts KachelX + 1 51060 KachelY + 1 81630 -0.69393456 -0.70469141 -39.759522 -40.375844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70465489--0.70469141) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dl = 232.6689199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70465489--0.70469141) × R
    3.65199999999843e-05 × 6371000     		dr = 232.6689199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69398250--0.69393456) × cos(-0.70465489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761835149358219 × 6371000     		do = 232.684064250592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69398250--0.69393456) × cos(-0.70469141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.761811492255053 × 6371000     		du = 232.676838762351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70465489)-sin(-0.70469141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761835149358219-0.761811492255053)×R²
    abs(-0.69393456--0.69398250)×2.3657103165875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3657103165875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3657103165875e-05×40589641000000     		ar = 54137.5093632686m²