Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51059 / 49561
↖ ↑ ↗
← S 67.392710°
E100.475464°		 ← 234.82 m → S 67.392710°
E100.480957°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
S 67.394822°
E100.475464°		 ← 234.80 m →
55 126 m²		 S 67.394822°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779106140136719 y=0.756248474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779106140136719 × 216)
    floor (0.779106140136719 × 65536)
    floor (51059.5)     		tx = 51059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756248474121094 × 216)
    floor (0.756248474121094 × 65536)
    floor (49561.5)     		ty = 49561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51059 / 49561 ti = "16/51059/49561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51059/49561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51059 ÷ 216
    51059 ÷ 65536     		x = 0.779098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49561 ÷ 216
    49561 ÷ 65536     		y = 0.756240844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75362766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756240844726562 × 2 - 1) × π
    -0.512481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61000871063921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75362766} λ = 1.75362766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61000871063921))-π/2
    2×atan(0.19988587293384)-π/2
    2×0.197285819878186-π/2
    0.394571639756372-1.57079632675     		φ = -1.17622469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75362766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17622469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.392710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51059 KachelY 49561 1.75362766 -1.17622469 100.475464 -67.392710
    Oben rechts KachelX + 1 51060 KachelY 49561 1.75372354 -1.17622469 100.480957 -67.392710
    Unten links KachelX 51059 KachelY + 1 49562 1.75362766 -1.17626154 100.475464 -67.394822
    Unten rechts KachelX + 1 51060 KachelY + 1 49562 1.75372354 -1.17626154 100.480957 -67.394822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17622469--1.17626154) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dl = 234.771350000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17622469--1.17626154) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dr = 234.771350000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.17622469) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384412775748531 × 6371000     		do = 234.819112996744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.17626154) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384378756992993 × 6371000     		du = 234.798332589576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17622469)-sin(-1.17626154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384412775748531-0.384378756992993)×R²
    abs(1.75372354-1.75362766)×3.4018755537879e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4018755537879e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4018755537879e-05×40589641000000     		ar = 55126.3608484006m²