Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51059 / 48245
↖ ↑ ↗
← S 64.446742°
E100.475464°		 ← 263.49 m → S 64.446742°
E100.480957°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 64.449111°
E100.475464°		 ← 263.47 m →
69 411 m²		 S 64.449111°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779106140136719 y=0.736167907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779106140136719 × 216)
    floor (0.779106140136719 × 65536)
    floor (51059.5)     		tx = 51059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736167907714844 × 216)
    floor (0.736167907714844 × 65536)
    floor (48245.5)     		ty = 48245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51059 / 48245 ti = "16/51059/48245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51059/48245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51059 ÷ 216
    51059 ÷ 65536     		x = 0.779098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48245 ÷ 216
    48245 ÷ 65536     		y = 0.736160278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75362766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736160278320312 × 2 - 1) × π
    -0.472320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48383879083922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75362766} λ = 1.75362766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48383879083922))-π/2
    2×atan(0.226765510037165)-π/2
    2×0.222994243506873-π/2
    0.445988487013745-1.57079632675     		φ = -1.12480784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75362766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12480784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.446742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51059 KachelY 48245 1.75362766 -1.12480784 100.475464 -64.446742
    Oben rechts KachelX + 1 51060 KachelY 48245 1.75372354 -1.12480784 100.480957 -64.446742
    Unten links KachelX 51059 KachelY + 1 48246 1.75362766 -1.12484919 100.475464 -64.449111
    Unten rechts KachelX + 1 51060 KachelY + 1 48246 1.75372354 -1.12484919 100.480957 -64.449111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12480784--1.12484919) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12480784--1.12484919) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.12480784) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431349888577785 × 6371000     		do = 263.490717835402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.12484919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431312582870751 × 6371000     		du = 263.467929589048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12480784)-sin(-1.12484919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431349888577785-0.431312582870751)×R²
    abs(1.75372354-1.75362766)×3.73057070332528e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73057070332528e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73057070332528e-05×40589641000000     		ar = 69411.2170060317m²