Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51059 / 48032
↖ ↑ ↗
← S 63.937372°
E100.475464°		 ← 268.38 m → S 63.937372°
E100.480957°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 63.939786°
E100.475464°		 ← 268.36 m →
72 033 m²		 S 63.939786°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779106140136719 y=0.732917785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779106140136719 × 216)
    floor (0.779106140136719 × 65536)
    floor (51059.5)     		tx = 51059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732917785644531 × 216)
    floor (0.732917785644531 × 65536)
    floor (48032.5)     		ty = 48032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51059 / 48032 ti = "16/51059/48032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51059/48032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51059 ÷ 216
    51059 ÷ 65536     		x = 0.779098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48032 ÷ 216
    48032 ÷ 65536     		y = 0.73291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75362766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75362766} λ = 1.75362766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46341767160107))-π/2
    2×atan(0.231443922180533)-π/2
    2×0.227439331087094-π/2
    0.454878662174187-1.57079632675     		φ = -1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75362766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51059 KachelY 48032 1.75362766 -1.11591766 100.475464 -63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 51060 KachelY 48032 1.75372354 -1.11591766 100.480957 -63.937372
    Unten links KachelX 51059 KachelY + 1 48033 1.75362766 -1.11595979 100.475464 -63.939786
    Unten rechts KachelX + 1 51060 KachelY + 1 48033 1.75372354 -1.11595979 100.480957 -63.939786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11591766--1.11595979) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11591766--1.11595979) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.11591766) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 268.379626792022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75362766-1.75372354) × cos(-1.11595979) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.439315475308557 × 6371000     		du = 268.356508278959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11591766)-sin(-1.11595979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.439315475308557)×R²
    abs(1.75372354-1.75362766)×3.78463731689482e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.78463731689482e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.78463731689482e-05×40589641000000     		ar = 72032.7347424908m²