Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51058 / 49766
↖ ↑ ↗
← S 67.821690°
E100.469971°		 ← 230.57 m → S 67.821690°
E100.475464°		 →
↑
230.57 m
↓
↑
230.57 m
↓
S 67.823763°
E100.469971°		 ← 230.55 m →
53 159 m²		 S 67.823763°
E100.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779090881347656 y=0.759376525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779090881347656 × 216)
    floor (0.779090881347656 × 65536)
    floor (51058.5)     		tx = 51058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759376525878906 × 216)
    floor (0.759376525878906 × 65536)
    floor (49766.5)     		ty = 49766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51058 / 49766 ti = "16/51058/49766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51058/49766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51058 ÷ 216
    51058 ÷ 65536     		x = 0.779083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49766 ÷ 216
    49766 ÷ 65536     		y = 0.759368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779083251953125 × 2 - 1) × π
    0.55816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75353179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.51873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62966283948343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75353179} λ = 1.75353179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62966283948343))-π/2
    2×atan(0.195995644980949)-π/2
    2×0.193542270245776-π/2
    0.387084540491552-1.57079632675     		φ = -1.18371179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75353179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18371179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.821690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51058 KachelY 49766 1.75353179 -1.18371179 100.469971 -67.821690
    Oben rechts KachelX + 1 51059 KachelY 49766 1.75362766 -1.18371179 100.475464 -67.821690
    Unten links KachelX 51058 KachelY + 1 49767 1.75353179 -1.18374798 100.469971 -67.823763
    Unten rechts KachelX + 1 51059 KachelY + 1 49767 1.75362766 -1.18374798 100.475464 -67.823763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18371179--1.18374798) × R
    3.61899999998805e-05 × 6371000     		dl = 230.566489999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18371179--1.18374798) × R
    3.61899999998805e-05 × 6371000     		dr = 230.566489999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75353179-1.75362766) × cos(-1.18371179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377490264825646 × 6371000     		do = 230.566437049561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75353179-1.75362766) × cos(-1.18374798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377456752147975 × 6371000     		du = 230.545967915899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18371179)-sin(-1.18374798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377490264825646-0.377456752147975)×R²
    abs(1.75362766-1.75353179)×3.35126776707662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35126776707662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35126776707662e-05×40589641000000     		ar = 53158.5343599661m²