Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51058 / 48242
↖ ↑ ↗
← S 64.439633°
E100.469971°		 ← 263.53 m → S 64.439633°
E100.475464°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 64.442002°
E100.469971°		 ← 263.51 m →
69 439 m²		 S 64.442002°
E100.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779090881347656 y=0.736122131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779090881347656 × 216)
    floor (0.779090881347656 × 65536)
    floor (51058.5)     		tx = 51058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736122131347656 × 216)
    floor (0.736122131347656 × 65536)
    floor (48242.5)     		ty = 48242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51058 / 48242 ti = "16/51058/48242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51058/48242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51058 ÷ 216
    51058 ÷ 65536     		x = 0.779083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48242 ÷ 216
    48242 ÷ 65536     		y = 0.736114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779083251953125 × 2 - 1) × π
    0.55816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75353179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.47222900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4835511694415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75353179} λ = 1.75353179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4835511694415))-π/2
    2×atan(0.226830742030726)-π/2
    2×0.223056284284731-π/2
    0.446112568569461-1.57079632675     		φ = -1.12468376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75353179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12468376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.439633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51058 KachelY 48242 1.75353179 -1.12468376 100.469971 -64.439633
    Oben rechts KachelX + 1 51059 KachelY 48242 1.75362766 -1.12468376 100.475464 -64.439633
    Unten links KachelX 51058 KachelY + 1 48243 1.75353179 -1.12472512 100.469971 -64.442002
    Unten rechts KachelX + 1 51059 KachelY + 1 48243 1.75362766 -1.12472512 100.475464 -64.442002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12468376--1.12472512) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12468376--1.12472512) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75353179-1.75362766) × cos(-1.12468376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431461828337374 × 6371000     		do = 263.531607970302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75353179-1.75362766) × cos(-1.12472512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431424515822173 × 6371000     		du = 263.508817942349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12468376)-sin(-1.12472512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431461828337374-0.431424515822173)×R²
    abs(1.75362766-1.75353179)×3.73125152017817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73125152017817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73125152017817e-05×40589641000000     		ar = 69438.7777759662m²