Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51057 / 49490
↖ ↑ ↗
← S 67.242312°
E100.464477°		 ← 236.30 m → S 67.242312°
E100.469971°		 →
↑
236.24 m
↓
↑
236.24 m
↓
S 67.244436°
E100.464477°		 ← 236.28 m →
55 820 m²		 S 67.244436°
E100.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779075622558594 y=0.755165100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779075622558594 × 216)
    floor (0.779075622558594 × 65536)
    floor (51057.5)     		tx = 51057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755165100097656 × 216)
    floor (0.755165100097656 × 65536)
    floor (49490.5)     		ty = 49490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51057 / 49490 ti = "16/51057/49490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51057/49490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51057 ÷ 216
    51057 ÷ 65536     		x = 0.779067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49490 ÷ 216
    49490 ÷ 65536     		y = 0.755157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779067993164062 × 2 - 1) × π
    0.558135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75343591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.51031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60320167089316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75343591} λ = 1.75343591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60320167089316))-π/2
    2×atan(0.201251145476059)-π/2
    2×0.198598294382184-π/2
    0.397196588764368-1.57079632675     		φ = -1.17359974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75343591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.464477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17359974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.242312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51057 KachelY 49490 1.75343591 -1.17359974 100.464477 -67.242312
    Oben rechts KachelX + 1 51058 KachelY 49490 1.75353179 -1.17359974 100.469971 -67.242312
    Unten links KachelX 51057 KachelY + 1 49491 1.75343591 -1.17363682 100.464477 -67.244436
    Unten rechts KachelX + 1 51058 KachelY + 1 49491 1.75353179 -1.17363682 100.469971 -67.244436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17359974--1.17363682) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dl = 236.236680000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17359974--1.17363682) × R
    3.70800000000227e-05 × 6371000     		dr = 236.236680000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75343591-1.75353179) × cos(-1.17359974) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38683470089472 × 6371000     		do = 236.298549556742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75343591-1.75353179) × cos(-1.17363682) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38680050734114 × 6371000     		du = 236.277662373931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17359974)-sin(-1.17363682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38683470089472-0.38680050734114)×R²
    abs(1.75353179-1.75343591)×3.41935535807525e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41935535807525e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41935535807525e-05×40589641000000     		ar = 55819.9176834295m²