Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51056 / 49491
↖ ↑ ↗
← S 67.244436°
E100.458984°		 ← 236.25 m → S 67.244436°
E100.464477°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
S 67.246562°
E100.458984°		 ← 236.23 m →
55 824 m²		 S 67.246562°
E100.464477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779060363769531 y=0.755180358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779060363769531 × 216)
    floor (0.779060363769531 × 65536)
    floor (51056.5)     		tx = 51056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755180358886719 × 216)
    floor (0.755180358886719 × 65536)
    floor (49491.5)     		ty = 49491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51056 / 49491 ti = "16/51056/49491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51056/49491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51056 ÷ 216
    51056 ÷ 65536     		x = 0.779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49491 ÷ 216
    49491 ÷ 65536     		y = 0.755172729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755172729492188 × 2 - 1) × π
    -0.510345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6032975446924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75334004} λ = 1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6032975446924))-π/2
    2×atan(0.20123185168904)-π/2
    2×0.198579751545572-π/2
    0.397159503091145-1.57079632675     		φ = -1.17363682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17363682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.244436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51056 KachelY 49491 1.75334004 -1.17363682 100.458984 -67.244436
    Oben rechts KachelX + 1 51057 KachelY 49491 1.75343591 -1.17363682 100.464477 -67.244436
    Unten links KachelX 51056 KachelY + 1 49492 1.75334004 -1.17367391 100.458984 -67.246562
    Unten rechts KachelX + 1 51057 KachelY + 1 49492 1.75343591 -1.17367391 100.464477 -67.246562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17363682--1.17367391) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dl = 236.300389999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17363682--1.17367391) × R
    3.70899999999619e-05 × 6371000     		dr = 236.300389999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75334004-1.75343591) × cos(-1.17363682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38680050734114 × 6371000     		do = 236.253019313758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75334004-1.75343591) × cos(-1.17367391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386766304033959 × 6371000     		du = 236.232128352039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17363682)-sin(-1.17367391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38680050734114-0.386766304033959)×R²
    abs(1.75343591-1.75334004)×3.42033071805692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42033071805692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42033071805692e-05×40589641000000     		ar = 55824.2123377338m²