Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51056 / 48145
↖ ↑ ↗
← S 64.208767°
E100.458984°		 ← 265.75 m → S 64.208767°
E100.464477°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 64.211157°
E100.458984°		 ← 265.73 m →
70 616 m²		 S 64.211157°
E100.464477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779060363769531 y=0.734642028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779060363769531 × 216)
    floor (0.779060363769531 × 65536)
    floor (51056.5)     		tx = 51056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734642028808594 × 216)
    floor (0.734642028808594 × 65536)
    floor (48145.5)     		ty = 48145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51056 / 48145 ti = "16/51056/48145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51056/48145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51056 ÷ 216
    51056 ÷ 65536     		x = 0.779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48145 ÷ 216
    48145 ÷ 65536     		y = 0.734634399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734634399414062 × 2 - 1) × π
    -0.469268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47425141091521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75334004} λ = 1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47425141091521))-π/2
    2×atan(0.228950052421274)-π/2
    2×0.225070963645419-π/2
    0.450141927290839-1.57079632675     		φ = -1.12065440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12065440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.208767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51056 KachelY 48145 1.75334004 -1.12065440 100.458984 -64.208767
    Oben rechts KachelX + 1 51057 KachelY 48145 1.75343591 -1.12065440 100.464477 -64.208767
    Unten links KachelX 51056 KachelY + 1 48146 1.75334004 -1.12069611 100.458984 -64.211157
    Unten rechts KachelX + 1 51057 KachelY + 1 48146 1.75343591 -1.12069611 100.464477 -64.211157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12065440--1.12069611) × R
    4.17099999998616e-05 × 6371000     		dl = 265.734409999118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12065440--1.12069611) × R
    4.17099999998616e-05 × 6371000     		dr = 265.734409999118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75334004-1.75343591) × cos(-1.12065440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43509332730121 × 6371000     		do = 265.74968312418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75334004-1.75343591) × cos(-1.12069611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435055771849383 × 6371000     		du = 265.726744713508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12065440)-sin(-1.12069611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43509332730121-0.435055771849383)×R²
    abs(1.75343591-1.75334004)×3.75554518265431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75554518265431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75554518265431e-05×40589641000000     		ar = 70615.7875005388m²