Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51055 / 49811
↖ ↑ ↗
← S 67.914816°
E100.453491°		 ← 229.65 m → S 67.914816°
E100.458984°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
S 67.916882°
E100.453491°		 ← 229.63 m →
52 742 m²		 S 67.916882°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779045104980469 y=0.760063171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779045104980469 × 216)
    floor (0.779045104980469 × 65536)
    floor (51055.5)     		tx = 51055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760063171386719 × 216)
    floor (0.760063171386719 × 65536)
    floor (49811.5)     		ty = 49811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51055 / 49811 ti = "16/51055/49811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51055/49811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51055 ÷ 216
    51055 ÷ 65536     		x = 0.779037475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49811 ÷ 216
    49811 ÷ 65536     		y = 0.760055541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779037475585938 × 2 - 1) × π
    0.558074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75324417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760055541992188 × 2 - 1) × π
    -0.520111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63397716044923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75324417} λ = 1.75324417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63397716044923))-π/2
    2×atan(0.1951518783095)-π/2
    2×0.192729587977723-π/2
    0.385459175955446-1.57079632675     		φ = -1.18533715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75324417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.453491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18533715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.914816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51055 KachelY 49811 1.75324417 -1.18533715 100.453491 -67.914816
    Oben rechts KachelX + 1 51056 KachelY 49811 1.75334004 -1.18533715 100.458984 -67.914816
    Unten links KachelX 51055 KachelY + 1 49812 1.75324417 -1.18537320 100.453491 -67.916882
    Unten rechts KachelX + 1 51056 KachelY + 1 49812 1.75334004 -1.18537320 100.458984 -67.916882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18533715--1.18537320) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18533715--1.18537320) × R
    3.60499999998432e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75324417-1.75334004) × cos(-1.18533715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375984661474308 × 6371000     		do = 229.646832936092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75324417-1.75334004) × cos(-1.18537320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375951256366776 × 6371000     		du = 229.626429504956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18533715)-sin(-1.18537320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375984661474308-0.375951256366776)×R²
    abs(1.75334004-1.75324417)×3.34051075318587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34051075318587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34051075318587e-05×40589641000000     		ar = 52741.6899446149m²