Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51055 / 49564
↖ ↑ ↗
← S 67.399045°
E100.453491°		 ← 234.73 m → S 67.399045°
E100.458984°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
S 67.401155°
E100.453491°		 ← 234.71 m →
55 091 m²		 S 67.401155°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779045104980469 y=0.756294250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779045104980469 × 216)
    floor (0.779045104980469 × 65536)
    floor (51055.5)     		tx = 51055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756294250488281 × 216)
    floor (0.756294250488281 × 65536)
    floor (49564.5)     		ty = 49564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51055 / 49564 ti = "16/51055/49564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51055/49564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51055 ÷ 216
    51055 ÷ 65536     		x = 0.779037475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49564 ÷ 216
    49564 ÷ 65536     		y = 0.75628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779037475585938 × 2 - 1) × π
    0.558074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75324417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61029633203693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75324417} λ = 1.75324417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61029633203693))-π/2
    2×atan(0.199828389746776)-π/2
    2×0.197230544546678-π/2
    0.394461089093357-1.57079632675     		φ = -1.17633524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75324417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.453491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17633524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.399045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51055 KachelY 49564 1.75324417 -1.17633524 100.453491 -67.399045
    Oben rechts KachelX + 1 51056 KachelY 49564 1.75334004 -1.17633524 100.458984 -67.399045
    Unten links KachelX 51055 KachelY + 1 49565 1.75324417 -1.17637208 100.453491 -67.401155
    Unten rechts KachelX + 1 51056 KachelY + 1 49565 1.75334004 -1.17637208 100.458984 -67.401155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17633524--1.17637208) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17633524--1.17637208) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75324417-1.75334004) × cos(-1.17633524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384310717916094 × 6371000     		do = 234.732286383065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75324417-1.75334004) × cos(-1.17637208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384276706827005 × 6371000     		du = 234.711512825805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17633524)-sin(-1.17637208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384310717916094-0.384276706827005)×R²
    abs(1.75334004-1.75324417)×3.40110890891809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40110890891809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40110890891809e-05×40589641000000     		ar = 55091.0231186886m²