Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51054 / 48857
↖ ↑ ↗
← S 65.859003°
E100.447998°		 ← 249.83 m → S 65.859003°
E100.453491°		 →
↑
249.81 m
↓
↑
249.81 m
↓
S 65.861250°
E100.447998°		 ← 249.81 m →
62 406 m²		 S 65.861250°
E100.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779029846191406 y=0.745506286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779029846191406 × 216)
    floor (0.779029846191406 × 65536)
    floor (51054.5)     		tx = 51054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745506286621094 × 216)
    floor (0.745506286621094 × 65536)
    floor (48857.5)     		ty = 48857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51054 / 48857 ti = "16/51054/48857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51054/48857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51054 ÷ 216
    51054 ÷ 65536     		x = 0.779022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48857 ÷ 216
    48857 ÷ 65536     		y = 0.745498657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745498657226562 × 2 - 1) × π
    -0.490997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54251355597417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75314829} λ = 1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54251355597417))-π/2
    2×atan(0.21384291918768)-π/2
    2×0.210669939524951-π/2
    0.421339879049901-1.57079632675     		φ = -1.14945645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14945645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.859003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51054 KachelY 48857 1.75314829 -1.14945645 100.447998 -65.859003
    Oben rechts KachelX + 1 51055 KachelY 48857 1.75324417 -1.14945645 100.453491 -65.859003
    Unten links KachelX 51054 KachelY + 1 48858 1.75314829 -1.14949566 100.447998 -65.861250
    Unten rechts KachelX + 1 51055 KachelY + 1 48858 1.75324417 -1.14949566 100.453491 -65.861250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14945645--1.14949566) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dl = 249.806909999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14945645--1.14949566) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dr = 249.806909999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75314829-1.75324417) × cos(-1.14945645) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408983513356344 × 6371000     		do = 249.828184429737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75314829-1.75324417) × cos(-1.14949566) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408947732279079 × 6371000     		du = 249.806327505734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14945645)-sin(-1.14949566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408983513356344-0.408947732279079)×R²
    abs(1.75324417-1.75314829)×3.57810772648737e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.57810772648737e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.57810772648737e-05×40589641000000     		ar = 62406.0767860074m²