Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51054 / 48150
↖ ↑ ↗
← S 64.220715°
E100.447998°		 ← 265.66 m → S 64.220715°
E100.453491°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
S 64.223104°
E100.447998°		 ← 265.64 m →
70 576 m²		 S 64.223104°
E100.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779029846191406 y=0.734718322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779029846191406 × 216)
    floor (0.779029846191406 × 65536)
    floor (51054.5)     		tx = 51054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734718322753906 × 216)
    floor (0.734718322753906 × 65536)
    floor (48150.5)     		ty = 48150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51054 / 48150 ti = "16/51054/48150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51054/48150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51054 ÷ 216
    51054 ÷ 65536     		x = 0.779022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48150 ÷ 216
    48150 ÷ 65536     		y = 0.734710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.46942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47473077991141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75314829} λ = 1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47473077991141))-π/2
    2×atan(0.228840327166009)-π/2
    2×0.224966701022657-π/2
    0.449933402045314-1.57079632675     		φ = -1.12086292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12086292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.220715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51054 KachelY 48150 1.75314829 -1.12086292 100.447998 -64.220715
    Oben rechts KachelX + 1 51055 KachelY 48150 1.75324417 -1.12086292 100.453491 -64.220715
    Unten links KachelX 51054 KachelY + 1 48151 1.75314829 -1.12090462 100.447998 -64.223104
    Unten rechts KachelX + 1 51055 KachelY + 1 48151 1.75324417 -1.12090462 100.453491 -64.223104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12086292--1.12090462) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12086292--1.12090462) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75314829-1.75324417) × cos(-1.12086292) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.434905569488242 × 6371000     		do = 265.662710782576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75314829-1.75324417) × cos(-1.12090462) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.43486801925817 × 6371000     		du = 265.639773168962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12086292)-sin(-1.12090462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434905569488242-0.43486801925817)×R²
    abs(1.75324417-1.75314829)×3.75502300720698e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.75502300720698e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.75502300720698e-05×40589641000000     		ar = 70575.7514218125m²