Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51053 / 48147
↖ ↑ ↗
← S 64.213547°
E100.442505°		 ← 265.70 m → S 64.213547°
E100.447998°		 →
↑
265.73 m
↓
↑
265.73 m
↓
S 64.215937°
E100.442505°		 ← 265.68 m →
70 604 m²		 S 64.215937°
E100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779014587402344 y=0.734672546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779014587402344 × 216)
    floor (0.779014587402344 × 65536)
    floor (51053.5)     		tx = 51053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734672546386719 × 216)
    floor (0.734672546386719 × 65536)
    floor (48147.5)     		ty = 48147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51053 / 48147 ti = "16/51053/48147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51053/48147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51053 ÷ 216
    51053 ÷ 65536     		x = 0.779006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48147 ÷ 216
    48147 ÷ 65536     		y = 0.734664916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779006958007812 × 2 - 1) × π
    0.558013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75305242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734664916992188 × 2 - 1) × π
    -0.469329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47444315851369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75305242} λ = 1.75305242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47444315851369))-π/2
    2×atan(0.228906156007201)-π/2
    2×0.225029253195802-π/2
    0.450058506391605-1.57079632675     		φ = -1.12073782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75305242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.442505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12073782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.213547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51053 KachelY 48147 1.75305242 -1.12073782 100.442505 -64.213547
    Oben rechts KachelX + 1 51054 KachelY 48147 1.75314829 -1.12073782 100.447998 -64.213547
    Unten links KachelX 51053 KachelY + 1 48148 1.75305242 -1.12077953 100.442505 -64.215937
    Unten rechts KachelX + 1 51054 KachelY + 1 48148 1.75314829 -1.12077953 100.447998 -64.215937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12073782--1.12077953) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dl = 265.734410000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12073782--1.12077953) × R
    4.17100000000836e-05 × 6371000     		dr = 265.734410000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75305242-1.75314829) × cos(-1.12073782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.435018215640679 × 6371000     		do = 265.703805840544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75305242-1.75314829) × cos(-1.12077953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434980658675164 × 6371000     		du = 265.680866505329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12073782)-sin(-1.12077953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435018215640679-0.434980658675164)×R²
    abs(1.75314829-1.75305242)×3.75569655154395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75569655154395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75569655154395e-05×40589641000000     		ar = 70603.5962048773m²