Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51052 / 48212
↖ ↑ ↗
← S 64.368438°
E100.437012°		 ← 264.22 m → S 64.368438°
E100.442505°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 64.370814°
E100.437012°		 ← 264.19 m →
69 804 m²		 S 64.370814°
E100.442505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778999328613281 y=0.735664367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778999328613281 × 216)
    floor (0.778999328613281 × 65536)
    floor (51052.5)     		tx = 51052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735664367675781 × 216)
    floor (0.735664367675781 × 65536)
    floor (48212.5)     		ty = 48212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51052 / 48212 ti = "16/51052/48212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51052/48212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51052 ÷ 216
    51052 ÷ 65536     		x = 0.77899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48212 ÷ 216
    48212 ÷ 65536     		y = 0.73565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    0.5579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75295655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.4713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48067495546429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75295655} λ = 1.75295655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48067495546429))-π/2
    2×atan(0.227484094922363)-π/2
    2×0.223677578091995-π/2
    0.44735515618399-1.57079632675     		φ = -1.12344117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75295655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12344117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.368438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51052 KachelY 48212 1.75295655 -1.12344117 100.437012 -64.368438
    Oben rechts KachelX + 1 51053 KachelY 48212 1.75305242 -1.12344117 100.442505 -64.368438
    Unten links KachelX 51052 KachelY + 1 48213 1.75295655 -1.12348264 100.437012 -64.370814
    Unten rechts KachelX + 1 51053 KachelY + 1 48213 1.75305242 -1.12348264 100.442505 -64.370814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12344117--1.12348264) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12344117--1.12348264) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75295655-1.75305242) × cos(-1.12344117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432582474153971 × 6371000     		do = 264.216084729581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75295655-1.75305242) × cos(-1.12348264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432545084663603 × 6371000     		du = 264.193247686137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12344117)-sin(-1.12348264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432582474153971-0.432545084663603)×R²
    abs(1.75305242-1.75295655)×3.73894903683003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73894903683003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73894903683003e-05×40589641000000     		ar = 69804.2916013336m²