Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5105 / 1270
↖ ↑ ↗
← N 76.940488°
E 44.340820°		 ← 1 104.17 m → N 76.940488°
E 44.384766°		 →
↑
1 104.60 m
↓
↑
1 104.60 m
↓
N 76.930554°
E 44.340820°		 ← 1 104.99 m →
1 220 123 m²		 N 76.930554°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62322998046875 y=0.15509033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62322998046875 × 213)
    floor (0.62322998046875 × 8192)
    floor (5105.5)     		tx = 5105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15509033203125 × 213)
    floor (0.15509033203125 × 8192)
    floor (1270.5)     		ty = 1270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5105 / 1270 ti = "13/5105/1270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5105/1270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5105 ÷ 213
    5105 ÷ 8192     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1270 ÷ 213
    1270 ÷ 8192     		y = 0.155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155029296875 × 2 - 1) × π
    0.68994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16751485322046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16751485322046))-π/2
    2×atan(8.73654544235461)-π/2
    2×1.45683058865483-π/2
    2.91366117730966-1.57079632675     		φ = 1.34286485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34286485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.940488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5105 KachelY 1270 0.77389331 1.34286485 44.340820 76.940488
    Oben rechts KachelX + 1 5106 KachelY 1270 0.77466030 1.34286485 44.384766 76.940488
    Unten links KachelX 5105 KachelY + 1 1271 0.77389331 1.34269147 44.340820 76.930554
    Unten rechts KachelX + 1 5106 KachelY + 1 1271 0.77466030 1.34269147 44.384766 76.930554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34286485-1.34269147) × R
    0.00017337999999989 × 6371000     		dl = 1104.6039799993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34286485-1.34269147) × R
    0.00017337999999989 × 6371000     		dr = 1104.6039799993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77466030) × cos(1.34286485) × R
    0.000766990000000023 × 0.225962985705773 × 6371000     		do = 1104.16661343966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77466030) × cos(1.34269147) × R
    0.000766990000000023 × 0.226131877988965 × 6371000     		du = 1104.99190444821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34286485)-sin(1.34269147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225962985705773-0.226131877988965)×R²
    abs(0.77466030-0.77389331)×0.000168892283192279×R²
    0.000766990000000023×0.000168892283192279×6371000²
    0.000766990000000023×0.000168892283192279×40589641000000     		ar = 1220122.64871071m²