Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51049 / 48855
↖ ↑ ↗
← S 65.854510°
E100.420532°		 ← 249.87 m → S 65.854510°
E100.426026°		 →
↑
249.87 m
↓
↑
249.87 m
↓
S 65.856757°
E100.420532°		 ← 249.85 m →
62 433 m²		 S 65.856757°
E100.426026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778953552246094 y=0.745475769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778953552246094 × 216)
    floor (0.778953552246094 × 65536)
    floor (51049.5)     		tx = 51049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745475769042969 × 216)
    floor (0.745475769042969 × 65536)
    floor (48855.5)     		ty = 48855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51049 / 48855 ti = "16/51049/48855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51049/48855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51049 ÷ 216
    51049 ÷ 65536     		x = 0.778945922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48855 ÷ 216
    48855 ÷ 65536     		y = 0.745468139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778945922851562 × 2 - 1) × π
    0.557891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75266892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745468139648438 × 2 - 1) × π
    -0.490936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54232180837569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75266892} λ = 1.75266892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54232180837569))-π/2
    2×atan(0.213883926985334)-π/2
    2×0.210709153759068-π/2
    0.421418307518135-1.57079632675     		φ = -1.14937802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75266892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.420532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14937802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.854510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51049 KachelY 48855 1.75266892 -1.14937802 100.420532 -65.854510
    Oben rechts KachelX + 1 51050 KachelY 48855 1.75276480 -1.14937802 100.426026 -65.854510
    Unten links KachelX 51049 KachelY + 1 48856 1.75266892 -1.14941724 100.420532 -65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 51050 KachelY + 1 48856 1.75276480 -1.14941724 100.426026 -65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14937802--1.14941724) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dl = 249.870620000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14937802--1.14941724) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dr = 249.870620000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75266892-1.75276480) × cos(-1.14937802) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409055082749572 × 6371000     		do = 249.871902698935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75266892-1.75276480) × cos(-1.14941724) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 249.85004096907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14937802)-sin(-1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409055082749572-0.409019293804828)×R²
    abs(1.75276480-1.75266892)×3.5788944744708e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5788944744708e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5788944744708e-05×40589641000000     		ar = 62432.9159538765m²