Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51046 / 48050
↖ ↑ ↗
← S 63.980781°
E100.404053°		 ← 267.96 m → S 63.980781°
E100.409546°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 63.983190°
E100.404053°		 ← 267.94 m →
71 802 m²		 S 63.983190°
E100.409546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778907775878906 y=0.733192443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778907775878906 × 216)
    floor (0.778907775878906 × 65536)
    floor (51046.5)     		tx = 51046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733192443847656 × 216)
    floor (0.733192443847656 × 65536)
    floor (48050.5)     		ty = 48050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51046 / 48050 ti = "16/51046/48050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51046/48050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51046 ÷ 216
    51046 ÷ 65536     		x = 0.778900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48050 ÷ 216
    48050 ÷ 65536     		y = 0.733184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778900146484375 × 2 - 1) × π
    0.55780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75238130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.46636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4651433999874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75238130} λ = 1.75238130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4651433999874))-π/2
    2×atan(0.231044857272044)-π/2
    2×0.227060522576691-π/2
    0.454121045153382-1.57079632675     		φ = -1.11667528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75238130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11667528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.980781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51046 KachelY 48050 1.75238130 -1.11667528 100.404053 -63.980781
    Oben rechts KachelX + 1 51047 KachelY 48050 1.75247718 -1.11667528 100.409546 -63.980781
    Unten links KachelX 51046 KachelY + 1 48051 1.75238130 -1.11671734 100.404053 -63.983190
    Unten rechts KachelX + 1 51047 KachelY + 1 48051 1.75247718 -1.11671734 100.409546 -63.983190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11667528--1.11671734) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11667528--1.11671734) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75238130-1.75247718) × cos(-1.11667528) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.438672614742562 × 6371000     		do = 267.963815951409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75238130-1.75247718) × cos(-1.11671734) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.438634817263926 × 6371000     		du = 267.940727305644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11667528)-sin(-1.11671734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438672614742562-0.438634817263926)×R²
    abs(1.75247718-1.75238130)×3.77974786354707e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.77974786354707e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.77974786354707e-05×40589641000000     		ar = 71801.6321930019m²