Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51042 / 48350
↖ ↑ ↗
← S 64.694410°
E100.382080°		 ← 261.08 m → S 64.694410°
E100.387573°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 64.696758°
E100.382080°		 ← 261.06 m →
68 160 m²		 S 64.696758°
E100.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778846740722656 y=0.737770080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778846740722656 × 216)
    floor (0.778846740722656 × 65536)
    floor (51042.5)     		tx = 51042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737770080566406 × 216)
    floor (0.737770080566406 × 65536)
    floor (48350.5)     		ty = 48350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51042 / 48350 ti = "16/51042/48350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51042/48350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51042 ÷ 216
    51042 ÷ 65536     		x = 0.778839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48350 ÷ 216
    48350 ÷ 65536     		y = 0.737762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778839111328125 × 2 - 1) × π
    0.55767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75199781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.47552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49390553975943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75199781} λ = 1.75199781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49390553975943))-π/2
    2×atan(0.224494170268763)-π/2
    2×0.220832934204162-π/2
    0.441665868408324-1.57079632675     		φ = -1.12913046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75199781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.382080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12913046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.694410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51042 KachelY 48350 1.75199781 -1.12913046 100.382080 -64.694410
    Oben rechts KachelX + 1 51043 KachelY 48350 1.75209368 -1.12913046 100.387573 -64.694410
    Unten links KachelX 51042 KachelY + 1 48351 1.75199781 -1.12917144 100.382080 -64.696758
    Unten rechts KachelX + 1 51043 KachelY + 1 48351 1.75209368 -1.12917144 100.387573 -64.696758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12913046--1.12917144) × R
    4.09799999998572e-05 × 6371000     		dl = 261.08357999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12913046--1.12917144) × R
    4.09799999998572e-05 × 6371000     		dr = 261.08357999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75199781-1.75209368) × cos(-1.12913046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427446069107517 × 6371000     		do = 261.078831345441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75199781-1.75209368) × cos(-1.12917144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427409021154587 × 6371000     		du = 261.056202908888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12913046)-sin(-1.12917144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427446069107517-0.427409021154587)×R²
    abs(1.75209368-1.75199781)×3.70479529299694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70479529299694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70479529299694e-05×40589641000000     		ar = 68160.4420023229m²