Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5104 / 19440
↖ ↑ ↗
← S 31.802893°
W123.925781°		 ← 1 038.23 m → S 31.802893°
W123.914795°		 →
↑
1 038.15 m
↓
↑
1 038.15 m
↓
S 31.812229°
W123.925781°		 ← 1 038.12 m →
1 077 788 m²		 S 31.812229°
W123.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155776977539062 y=0.593276977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155776977539062 × 215)
    floor (0.155776977539062 × 32768)
    floor (5104.5)     		tx = 5104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593276977539062 × 215)
    floor (0.593276977539062 × 32768)
    floor (19440.5)     		ty = 19440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5104 / 19440 ti = "15/5104/19440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5104/19440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5104 ÷ 215
    5104 ÷ 32768     		x = 0.15576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19440 ÷ 215
    19440 ÷ 32768     		y = 0.59326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    -0.6884765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16291291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16291291} λ = -2.16291291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585980660955566))-π/2
    2×atan(0.556559797641046)-π/2
    2×0.507865569756501-π/2
    1.015731139513-1.57079632675     		φ = -0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16291291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5104 KachelY 19440 -2.16291291 -0.55506519 -123.925781 -31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 5105 KachelY 19440 -2.16272116 -0.55506519 -123.914795 -31.802893
    Unten links KachelX 5104 KachelY + 1 19441 -2.16291291 -0.55522814 -123.925781 -31.812229
    Unten rechts KachelX + 1 5105 KachelY + 1 19441 -2.16272116 -0.55522814 -123.914795 -31.812229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55506519--0.55522814) × R
    0.000162949999999995 × 6371000     		dl = 1038.15444999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55506519--0.55522814) × R
    0.000162949999999995 × 6371000     		dr = 1038.15444999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16291291--2.16272116) × cos(-0.55506519) × R
    0.000191750000000379 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 1038.22976916205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16291291--2.16272116) × cos(-0.55522814) × R
    0.000191750000000379 × 0.849780201308617 × 6371000     		du = 1038.12484779356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55506519)-sin(-0.55522814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.849780201308617)×R²
    abs(-2.16272116--2.16291291)×8.58857215726427e-05×R²
    0.000191750000000379×8.58857215726427e-05×6371000²
    0.000191750000000379×8.58857215726427e-05×40589641000000     		ar = 1077788.39507031m²