Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5104 / 1083
↖ ↑ ↗
← N 78.673242°
E 44.296875°		 ← 959.73 m → N 78.673242°
E 44.340820°		 →
↑
960.11 m
↓
↑
960.11 m
↓
N 78.664608°
E 44.296875°		 ← 960.45 m →
921 790 m²		 N 78.664608°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62310791015625 y=0.13226318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62310791015625 × 213)
    floor (0.62310791015625 × 8192)
    floor (5104.5)     		tx = 5104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13226318359375 × 213)
    floor (0.13226318359375 × 8192)
    floor (1083.5)     		ty = 1083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5104 / 1083 ti = "13/5104/1083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5104/1083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5104 ÷ 213
    5104 ÷ 8192     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1083 ÷ 213
    1083 ÷ 8192     		y = 0.1322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1322021484375 × 2 - 1) × π
    0.735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31094205688367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31094205688367))-π/2
    2×atan(10.0839198078937)-π/2
    2×1.47195171642584-π/2
    2.94390343285168-1.57079632675     		φ = 1.37310711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37310711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.673242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5104 KachelY 1083 0.77312632 1.37310711 44.296875 78.673242
    Oben rechts KachelX + 1 5105 KachelY 1083 0.77389331 1.37310711 44.340820 78.673242
    Unten links KachelX 5104 KachelY + 1 1084 0.77312632 1.37295641 44.296875 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 5105 KachelY + 1 1084 0.77389331 1.37295641 44.340820 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37310711-1.37295641) × R
    0.000150700000000059 × 6371000     		dl = 960.109700000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37310711-1.37295641) × R
    0.000150700000000059 × 6371000     		dr = 960.109700000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.37310711) × R
    0.000766989999999912 × 0.196404081003632 × 6371000     		do = 959.727223952752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.37295641) × R
    0.000766989999999912 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 960.449264865784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37310711)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196404081003632-0.196551843595368)×R²
    abs(0.77389331-0.77312632)×0.0001477625917361×R²
    0.000766989999999912×0.0001477625917361×6371000²
    0.000766989999999912×0.0001477625917361×40589641000000     		ar = 921790.038057095m²