Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51038 / 48723
↖ ↑ ↗
← S 65.556187°
E100.360107°		 ← 252.77 m → S 65.556187°
E100.365601°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
S 65.558460°
E100.360107°		 ← 252.75 m →
63 898 m²		 S 65.558460°
E100.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778785705566406 y=0.743461608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778785705566406 × 216)
    floor (0.778785705566406 × 65536)
    floor (51038.5)     		tx = 51038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743461608886719 × 216)
    floor (0.743461608886719 × 65536)
    floor (48723.5)     		ty = 48723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51038 / 48723 ti = "16/51038/48723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51038/48723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51038 ÷ 216
    51038 ÷ 65536     		x = 0.778778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48723 ÷ 216
    48723 ÷ 65536     		y = 0.743453979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778778076171875 × 2 - 1) × π
    0.55755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75161431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743453979492188 × 2 - 1) × π
    -0.486907958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52966646687599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75161431} λ = 1.75161431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52966646687599))-π/2
    2×atan(0.21660790117911)-π/2
    2×0.213312510995567-π/2
    0.426625021991134-1.57079632675     		φ = -1.14417130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75161431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.360107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14417130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.556187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51038 KachelY 48723 1.75161431 -1.14417130 100.360107 -65.556187
    Oben rechts KachelX + 1 51039 KachelY 48723 1.75171019 -1.14417130 100.365601 -65.556187
    Unten links KachelX 51038 KachelY + 1 48724 1.75161431 -1.14421098 100.360107 -65.558460
    Unten rechts KachelX + 1 51039 KachelY + 1 48724 1.75171019 -1.14421098 100.365601 -65.558460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14417130--1.14421098) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14417130--1.14421098) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75161431-1.75171019) × cos(-1.14417130) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.413800699033969 × 6371000     		do = 252.770769430354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75161431-1.75171019) × cos(-1.14421098) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.413764575325891 × 6371000     		du = 252.748703209812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14417130)-sin(-1.14421098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413800699033969-0.413764575325891)×R²
    abs(1.75171019-1.75161431)×3.61237080776511e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.61237080776511e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.61237080776511e-05×40589641000000     		ar = 63897.9848825275m²