Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51035 / 48029
↖ ↑ ↗
← S 63.930131°
E100.343628°		 ← 268.42 m → S 63.930131°
E100.349121°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 63.932545°
E100.343628°		 ← 268.40 m →
72 044 m²		 S 63.932545°
E100.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778739929199219 y=0.732872009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778739929199219 × 216)
    floor (0.778739929199219 × 65536)
    floor (51035.5)     		tx = 51035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732872009277344 × 216)
    floor (0.732872009277344 × 65536)
    floor (48029.5)     		ty = 48029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51035 / 48029 ti = "16/51035/48029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51035/48029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51035 ÷ 216
    51035 ÷ 65536     		x = 0.778732299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48029 ÷ 216
    48029 ÷ 65536     		y = 0.732864379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778732299804688 × 2 - 1) × π
    0.557464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75132669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732864379882812 × 2 - 1) × π
    -0.465728759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46313005020335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75132669} λ = 1.75132669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46313005020335))-π/2
    2×atan(0.231510499979065)-π/2
    2×0.227502522957796-π/2
    0.455005045915593-1.57079632675     		φ = -1.11579128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75132669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11579128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.930131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51035 KachelY 48029 1.75132669 -1.11579128 100.343628 -63.930131
    Oben rechts KachelX + 1 51036 KachelY 48029 1.75142256 -1.11579128 100.349121 -63.930131
    Unten links KachelX 51035 KachelY + 1 48030 1.75132669 -1.11583341 100.343628 -63.932545
    Unten rechts KachelX + 1 51036 KachelY + 1 48030 1.75142256 -1.11583341 100.349121 -63.932545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11579128--1.11583341) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11579128--1.11583341) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75132669-1.75142256) × cos(-1.11579128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439466847139429 × 6371000     		do = 268.420975553217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75132669-1.75142256) × cos(-1.11583341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43942900310575 × 6371000     		du = 268.397860880278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11579128)-sin(-1.11583341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439466847139429-0.43942900310575)×R²
    abs(1.75142256-1.75132669)×3.78440336792907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78440336792907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78440336792907e-05×40589641000000     		ar = 72043.8336885819m²